Passo 1
O enunciado apresenta a expressão
e a pergunta implícita é: essa igualdade é verdadeira? Preciso dizer para quais valores de
ela vale (por exemplo, para todo
ou só para alguns
). Vou assumir que estamos trabalhando com números reais, a menos que o contrário seja dito.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar a definição importante do radical quadrado (a raiz quadrada principal). Para um número real
não negativo,
é o único número real não negativo cujo quadrado é
. Em palavras:
sempre devolve um resultado \emph{não negativo}. Um exemplo rápido:
, e não
.
Dessa definição segue a identidade padrão e muito útil, válida para todo real
:
Isto significa que a raiz quadrada do quadrado de um número real é o valor absoluto desse número (porque a raiz principal é não negativa).
Passo 3
Agora apliquei a identidade anterior com
. Note que
Portanto, usando
com
, obtemos
Passo 4
Para qualquer número real
temos
. Como o valor absoluto de um número não negativo é ele mesmo, segue que
Juntando com o passo anterior:
Passo 5
Para fixar a ideia, alguns exemplos numéricos:
- Se
: e — igualdade confirmada. - Se
: e .
Também aviso uma armadilha comum: não confunda
com
. A identidade correta é
, não
. No caso de
a composição faz com que o valor absoluto do quadrado seja simplesmente o próprio quadrado, então aí a igualdade com
vale.
Passo 6
Observação sobre domínio: a conclusão
é válida para todos os
reais. Se
for complexo a igualdade pode falhar (por exemplo, para
,
e
enquanto
, não são iguais). Por isso é importante especificar que estamos trabalhando em
.