\sqrt{x^{4}}=x^{2}

Passo 1

O enunciado apresenta a expressão
\sqrt{x^{4}}=x^{2}
e a pergunta implícita é: essa igualdade é verdadeira? Preciso dizer para quais valores de x ela vale (por exemplo, para todo x\in\mathbb{R} ou só para alguns x). Vou assumir que estamos trabalhando com números reais, a menos que o contrário seja dito.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar a definição importante do radical quadrado (a raiz quadrada principal). Para um número real a não negativo, \sqrt{a} é o único número real não negativo cujo quadrado é a. Em palavras: \sqrt{a} sempre devolve um resultado \emph{não negativo}. Um exemplo rápido: \sqrt{9}=3, e não -3.
Dessa definição segue a identidade padrão e muito útil, válida para todo real t:
\sqrt{t^{2}}=|t|.
Isto significa que a raiz quadrada do quadrado de um número real é o valor absoluto desse número (porque a raiz principal é não negativa).

Passo 3

Agora apliquei a identidade anterior com t=x^{2}. Note que
x^{4}=(x^{2})^{2}.
Portanto, usando \sqrt{t^{2}}=|t| com t=x^{2}, obtemos
\sqrt{x^{4}}=\sqrt{(x^{2})^{2}}=|x^{2}|.

Passo 4

Para qualquer número real x temos x^{2}\ge 0. Como o valor absoluto de um número não negativo é ele mesmo, segue que
|x^{2}|=x^{2}\qquad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Juntando com o passo anterior:
\sqrt{x^{4}}=|x^{2}|=x^{2}\qquad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.

Passo 5

Para fixar a ideia, alguns exemplos numéricos:
  • Se x=-2: \sqrt{(-2)^{4}}=\sqrt{16}=4 e (-2)^{2}=4 — igualdade confirmada.
  • Se x=0,5: \sqrt{(0,5)^{4}}=\sqrt{0,0625}=0,25 e (0,5)^{2}=0,25.
Também aviso uma armadilha comum: não confunda \sqrt{x^{2}} com x. A identidade correta é \sqrt{x^{2}}=|x|, não x. No caso de \sqrt{x^{4}} a composição faz com que o valor absoluto do quadrado seja simplesmente o próprio quadrado, então aí a igualdade com x^{2} vale.

Passo 6

Observação sobre domínio: a conclusão \sqrt{x^{4}}=x^{2} é válida para todos os x reais. Se x for complexo a igualdade pode falhar (por exemplo, para x=i, x^{4}=1 e \sqrt{1}=1 enquanto x^{2}=-1, não são iguais). Por isso é importante especificar que estamos trabalhando em \mathbb{R}.

Resposta

\sqrt{x^{4}}=x^{2} para todo x\in\mathbb{R}.

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