Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os números reais
que satisfazem a equação
Informações dadas:
- As expressões dentro dos valores absolutos são
e . - O domínio natural é
(qualquer real é permitido).
A pergunta é: quais valores detornam verdade essa igualdade?
Passo 2
Lembrete sobre o valor absoluto e uma propriedade útil:
- Definição: para qualquer número real
Ou, de forma equivalente,
.
- Propriedade importante que vamos usar: se
então
porque
e
. A partir de
segue
portanto
ou
. Essa é uma forma prática de resolver equações com valores absolutos: transformar em duas equações lineares.
Obs.: aqui é seguro elevar ao quadrado porque
e
são não-negativos; ao quadrar não se perde nem cria sinal errôneo.]
Passo 3
Aplique a propriedade ao nosso problema tomando
e
. Então
Vou resolver essa igualdade expandindo os quadrados passo a passo.
Passo 4
Expandindo os quadrados:
Portanto a equação vira
Passo 5
Simplifique: subtraia
dos dois lados e subtraia
dos dois lados (essas operações são válidas e simplificam a equação):
Some
nos dois lados:
Logo
Passo 6
Verificação direta (sempre confirme na prova): substituindo
na equação original:
portanto
satisfaz a equação. Não há outros candidatos (a fatoração levou às únicas possibilidades e as testamos).
Passo 7
Outra maneira (equivalente) por casos, usando
ou
:
- Caso
dá , impossível. - Caso
dá .
Sóé válido.
Passo 8
Interpretação geométrica rápida e dica para provas:
é a distância de
até
e
é a distância de
até
. A igualdade diz que a distância de
a
é a mesma que a distância a
; o ponto que fica exatamente no meio entre
e
é
. Assim, em geral,
tem solução
.