|x+1|=|x-1|

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os números reais x que satisfazem a equação
|x+1| = |x-1|.
Informações dadas:
  • As expressões dentro dos valores absolutos são x+1 e x-1.
  • O domínio natural é \mathbb{R} (qualquer x real é permitido).
    A pergunta é: quais valores de x tornam verdade essa igualdade?

Passo 2

Lembrete sobre o valor absoluto e uma propriedade útil:
  • Definição: para qualquer número real a\), \[|a| = \begin{cases} a, & \text{se } a \ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a < 0. \end{cases}
Ou, de forma equivalente, |a|\] é sempre não negativo e \(|a|^2 = a^2.
  • Propriedade importante que vamos usar: se |A| = |B| então
A^2 = B^2,
porque |A|^2 = A^2 e |B|^2 = B^2. A partir de A^2=B^2 segue
A^2 - B^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad (A-B)(A+B)=0,
portanto A=B ou A=-B. Essa é uma forma prática de resolver equações com valores absolutos: transformar em duas equações lineares.
Obs.: aqui é seguro elevar ao quadrado porque |x+1| e |x-1| são não-negativos; ao quadrar não se perde nem cria sinal errôneo.]

Passo 3

Aplique a propriedade ao nosso problema tomando A = x+1 e B = x-1. Então
(x+1)^2 = (x-1)^2.
Vou resolver essa igualdade expandindo os quadrados passo a passo.

Passo 4

Expandindo os quadrados:
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1,
(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1.
Portanto a equação vira
x^2 + 2x + 1 = x^2 - 2x + 1.

Passo 5

Simplifique: subtraia x^2 dos dois lados e subtraia 1 dos dois lados (essas operações são válidas e simplificam a equação):
2x = -2x.
Some 2x nos dois lados:
4x = 0.
Logo
x = 0.

Passo 6

Verificação direta (sempre confirme na prova): substituindo x=0 na equação original:
|0+1| = |0-1| \quad\Rightarrow\quad |1| = |{-1}| \quad\Rightarrow\quad 1 = 1,
portanto x=0 satisfaz a equação. Não há outros candidatos (a fatoração levou às únicas possibilidades e as testamos).

Passo 7

Outra maneira (equivalente) por casos, usando A=B ou A=-B:
  • Caso x+1 = x-1 1 = -1, impossível.
  • Caso x+1 = -(x-1) x+1 = -x+1 \Rightarrow 2x=0 \Rightarrow x=0.
    x=0 é válido.

Passo 8

Interpretação geométrica rápida e dica para provas: |x+1| é a distância de x até -1 e |x-1| é a distância de x até 1. A igualdade diz que a distância de x a -1 é a mesma que a distância a 1; o ponto que fica exatamente no meio entre -1 e 1 é 0. Assim, em geral, |x-a|=|x-b| tem solução x=\dfrac{a+b}{2}.

Resposta

x=0

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