Em ovelha, a ausência de orelhas é decorrente de genótipo E^{l} E^{l}, as orelhas curtas ocorrem em razão do genótipo E^{l} E^{2} e as orelhas longas são determinadas pelo genótipo E^{2} E^{2}. Nesses animais, a cor da gordura pode ser branca, pelo alelo dominante F, e amarela, pelo alelo recessivo f. Determine os tamanhos das descendências para se conseguir 12 animais sem orelhas e que produzam gordura amarela, com 95 \% e 99 \% de probabilidade, a partir do cruzamento E^{l} E^{2} F f \times E^{l} E^{2} F f

Passo 1

Resumo do enunciado: a partir do cruzamento
E^{l}E^{2}\,Ff \;\times\; E^{l}E^{2}\,Ff
queremos obter pelo menos 12 ovelhas sem orelhas (genótipo E^{l}E^{l}) e que produzam gordura amarela (genótipo ff), com probabilidade de 95\% e 99\%. O problema se reduz a achar o menor n tal que
P(X\ge12)\ge0{,}95 \quad\text{e}\quad P(X\ge12)\ge0{,}99,
onde X é o número de indivíduos com o fenótipo desejado em uma ninhada de tamanho n.

Passo 2

Calcular a probabilidade p de um indivíduo ser simultaneamente E^{l}E^{l} e ff.
Para E^{l}E^{l} em E^{l}E^{2}\times E^{l}E^{2}: probabilidade 1/4.
Para ff em Ff\times Ff: probabilidade 1/4.
Como são loci independentes,
p = \frac14 \times \frac14 = \frac1{16} = 0{,}0625.

Passo 3

Modelamos X como \mathrm{Binomial}(n,p). Queremos achar o mínimo n tal que
P(X\ge12) \ge 1-\alpha,
com \alpha=0{,}05 para 95\% e \alpha=0{,}01 para 99\%.

Passo 4

Usamos aproximação normal com correção de continuidade:
X \approx N\bigl(\mu = np,\;\sigma^2=np(1-p)\bigr).
Assim,
P(X\ge12) \approx 1 - \Phi\!\Bigl(\frac{11{,}5 - np}{\sqrt{np(1-p)}}\Bigr) \ge 1-\alpha
é equivalente a
\frac{11{,}5 - np}{\sqrt{np(1-p)}} \le z_{\alpha},
onde z_{0{,}05}= -1{,}645 e z_{0{,}01}= -2{,}33.

Passo 5

Caso 95 % \alpha=0{,}05:
\frac{11{,}5 - np}{\sqrt{np(1-p)}} = -1{,}645.
Definindo q=1-p=0{,}9375 e t=\sqrt{np}, obtemos a equação quadrática
t^2 - 1{,}645\,t\sqrt{q} - 11{,}5 = 0.
Solução positiva:
t = \frac{1{,}645\sqrt{q} + \sqrt{(1{,}645^2\,q) + 4\cdot11{,}5}}{2} \approx 4{,}28,
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np = t^2 \approx 18{,}32 \quad\Longrightarrow\quad n = \frac{18{,}32}{0{,}0625} \approx 293{,}1.
Arredondando para inteiro mínimo:
n_{95\%} = 294.

Passo 6

Caso 99 % \alpha=0{,}01, com z_{0{,}01}=-2{,}33:
\frac{11{,}5 - np}{\sqrt{np(1-p)}} = -2{,}33 \;\Longrightarrow\; t^2 - 2{,}33\,t\sqrt{q} - 11{,}5 = 0.
Solução positiva:
t = \frac{2{,}33\sqrt{q} + \sqrt{(2{,}33^2\,q) + 4\cdot11{,}5}}{2} \approx 4{,}70,
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np = t^2 \approx 22{,}10 \quad\Longrightarrow\quad n = \frac{22{,}10}{0{,}0625} \approx 353{,}6.
Arredondando para inteiro mínimo:
n_{99\%} = 354.

Resposta

Para garantir 12 animais sem orelhas e com gordura amarela com probabilidade de pelo menos 95 % é preciso ter 294 descendentes,
e para 99 % é preciso ter 354 descendentes.

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