Os ovos cozinham à medida que suas proteínas desnaturam e coagulam. Um ovo é considerado cozido quando sua gema está firme. Essa condição ocorre quando a temperatura no centro da gema é igual a 75^circ C. Estime o tempo necessário para cozinhar um ovo para as sequintes condições:
a) o diâmetro menor é igual a 75 mm ;

Passo 1

Beleza, o enunciado nos pede para estimar quanto tempo um ovo com diâmetro de 75 mm (ou seja, raio R = 37,5,mm) precisa ficar na água fervendo ( 100^circC) para que, no centro da gema, a temperatura atinja 75^circC.
Conteúdo da matéria: condução de calor unidimensional e transiente em esfera. Vamos usar a solução aproximada (primeiro termo da série) para temperatura no centro de uma esfera de raio R com superfície mantida a temperatura constante Ts. Precisamos também da difusividade térmica média do ovo, que vamos chamar de alpha.

Passo 2

Definindo as temperaturas e parâmetros:
Ti: temperatura inicial do ovo (vamos supor 4^circC, típico de geladeira).
Ts: temperatura da água fervendo =100^circC.
T(0,t): temperatura no centro após tempo t, queremos T(0,t)=75^circC.
alpha: difusividade térmica do ovo, tipicamente alpha approx 1,5times10^-7,m^2/s.
R = 37,5,mm=0,0375,m.
A solução aproximada para o centro da esfera é:
T(0,t)-TsTi - Ts ;approx; 6pi^2,exp!l(-pi^2,alpha,tR^2r)

Passo 3

Substituindo o que a gente sabe:
Queremos
T(0,t)=75^circCLongrightarrow 75 - 1004 - 100 = -25-96 approx 0,2604
deve ser igual a
6pi^2,exp!l(-pi^2,alpha,tR^2r)
Então montamos a igualdade:
0,2604 ;=; 6pi^2,exp!l(-pi^2,alpha,tR^2r)

Passo 4

Isolando o expoente, primeiro calculamos 6pi^2approx0,6079.
exp!l(-pi^2,alpha,tR^2r) = 0,26040,6079 approx 0,4283
Aplicando logaritmo natural:
-pi^2,alpha,tR^2 = ln(0,4283)approx -0,8489
Daí
t = 0,8489,R^2pi^2,alpha
Substituindo R^2=(0,0375)^2approx1,406times10^-3,m^2 e alpha=1,5times10^-7,m^2/s:
t = 0,8489times1,406times10^-39,8696times1,5times10^-7 approx 806 s
Convertendo para minutos: 806,s!approx!13,4,min.

Resposta

O ovo de diâmetro 75 mm leva, em torno de 13 min e 20 s para a gema chegar a 75^circC no centro.

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