O óxido de magnésio ( MgO ) é um material cerâmico que apresenta a estrutura cristalina do cloreto de sódio (\mathrm{NaCl}). Os raios iônicos do \mathrm{Mg}^{2+} e do \mathrm{O}^{2-} são, respectivamente, 0,078 \mathrm{~nm} e 0,132 \mathrm{~nm}. As massas atômicas do Mg e do O são, respectivamente, 24,31 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} e 16,00 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}. Calcule o seu fator de empacotamento iônico.

Passo 1

O enunciado diz que o MgO cristaliza na estrutura tipo NaCl (cada célula unitária contém 4 M g^{2}⁺ e 4 O^{2}⁻) com raios iônicos \mathrm{r_{Mg^{2+}}=0,078\,nm} e \mathrm{r_{O^{2-}}=0,132\,nm}. Queremos o fator de empacotamento iônico, ou seja, a fração do volume da célula unitária ocupada pelas esferas iônicas.

Passo 2

Na estrutura NaCl a distância catião-anião = \mathrm{r_{+}+r_{-}} corresponde a metade da aresta a. Logo,
a \;=\; 2\bigl(r_{Mg^{2+}} + r_{O^{2-}}\bigr) \;=\; 2\bigl(0,078\,\mathrm{nm} + 0,132\,\mathrm{nm}\bigr) \;=\; 0,42\,\mathrm{nm}
Em metros isso é \;a=0,42\times10^{-9}\,\mathrm{m}.

Passo 3

Cada célula unitária contém 4 M g^{2}⁺ e 4 O^{2}⁻. Para modelar como esferas, o volume total ocupado pelas esferas é
V_{\text{íons}} =4\bigl[V_{\text{Mg}^{2+}} + V_{\text{O}^{2-}}\bigr] =4\Bigl[\tfrac{4}{3}\pi\,r_{Mg^{2+}}^{3} \;+\;\tfrac{4}{3}\pi\,r_{O^{2-}}^{3}\Bigr] =\tfrac{16\pi}{3}\bigl(r_{Mg^{2+}}^{3}+r_{O^{2-}}^{3}\bigr).í

Passo 4

Calculando r^3:
r_{Mg^{2+}}^{3} = (0,078\times10^{-9}\,\mathrm{m})^{3}\approx4{,}75\times10^{-31}\,\mathrm{m}^{3}, \quad r_{O^{2-}}^{3} = (0,132\times10^{-9}\,\mathrm{m})^{3}\approx2{,}30\times10^{-30}\,\mathrm{m}^{3}.
Logo
r_{Mg^{2+}}^{3}+r_{O^{2-}}^{3}\approx2{,}77\times10^{-30}\,\mathrm{m}^{3}
e
V_{\text{íons}} =\tfrac{16\pi}{3}\times2{,}77\times10^{-30} \approx4{,}65\times10^{-29}\,\mathrm{m}^{3}.í

Passo 5

O volume da célula unitária é
V_{\text{célula}}=a^{3} =(0,42\times10^{-9}\,\mathrm{m})^{3} \approx7{,}41\times10^{-29}\,\mathrm{m}^{3}.é

Passo 6

O fator de empacotamento iônico é
\text{PF} =\frac{V_{\text{íons}}}{V_{\text{célula}}} \approx\frac{4{,}65\times10^{-29}}{7{,}41\times10^{-29}} \approx0,628.íé

Resposta

O fator de empacotamento iônico do MgO é aproximadamente 0,628 (62,8 %).

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