Calcule a densidade atômica planar em átomos / \mathrm{mm}^{2} no plano ( 1110 ) do ferro alfa, cuja rede é CCC e sendo o seu parâmetro de rede 0,287 \mathrm{~nm}.

Passo 1

O enunciado pede a densidade atômica planar (número de átomos por área) no plano (110) de um ferro \alpha de estrutura CCC (ou BCC), com parâmetro de rede a = 0,287\,\mathrm{nm}. Para resolver vamos precisar:
• Identificar como a rede BCC se projeta no plano (110).
• Determinar a área de uma célula elementar bidimensional desse plano.
• Contar quantos átomos estão “sobre” essa célula bidimensional.
• Calcular a densidade atômica como razão entre o número de átomos e a área dessa célula.

Passo 2

Na estrutura BCC cada célula cúbica tem átomos nos 8 vértices (cada vértice compartilhado entre 8 células no 3D) e 1 átomo no centro da célula. O plano (110) é o plano cuja equação cartesiana é x - y = 0. Em coordenadas do cubo, este plano passa por 4 vértices da célula: (0,0,0), (0,0,a), (a,a,0) e (a,a,a),
além de passar pelo átomo central em \bigl(\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}\bigr), pois \tfrac{a}{2}-\tfrac{a}{2}=0.

Passo 3

Escolhemos como “célula bidimensional” do plano (110) o paralelogramo definido pelos vetores
\mathbf{v}_1 = (0,0,a), \quad \mathbf{v}_2 = (a,a,0).
A área desse paralelogramo é
A = \bigl|\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2\bigr| = a^2\sqrt{2}.

Passo 4

Agora contamos quantos átomos estão contidos nessa célula bidimensional:
  • Os 4 vértices do paralelogramo são 4 átomos de canto, cada um compartilhado por 4 células vizinhas no plano, totalizando 4\times\frac14=1 átomo efetivo.
  • O átomo central da célula cúbica, em \bigl(\tfrac a2,\tfrac a2,\tfrac a2\bigr), pertence integralmente a esse paralelogramo, contribuindo com mais 1 átomo.
    Logo o número total de átomos por célula planar é
N = 1 + 1 = 2.

Passo 5

A densidade atômica planar é
\rho = \frac{N}{A} = \frac{2}{a^2\sqrt{2}}.
Substituindo a = 0,287\,\mathrm{nm} = 2{,}87\times10^{-7}\,\mathrm{mm}:
A = (2{,}87\times10^{-7}\,\mathrm{mm})^2\sqrt{2} = 1{,}1647\times10^{-13}\,\mathrm{mm}^2,
\rho = \frac{2}{1{,}1647\times10^{-13}\,\mathrm{mm}^2} \approx 1{,}72\times10^{13}\,\text{átomos/mm}^2.á

Resposta

A densidade atômica planar no plano (110) do ferro \alpha é aproximadamente
1{,}72\times10^{13}\\ \text{átomos/mm}^2.á

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