O traço de uma matriz
é a soma dos elementos da diagonal principal:
.
P 10.3. a) Mostre que o traço de uma matriz é invariante por transformações de semelhança, isto é, se
, então
.
b) Tomando acima
, conclua que
, onde
são os valores próprios de
incluindo multiplicidades.
P 10.3. a) Mostre que o traço de uma matriz é invariante por transformações de semelhança, isto é, se
b) Tomando acima
Passo 1
O enunciado define o traço de uma matriz
por
e pede dois resultados de Álgebra Linear:
- Mostrar que se
(matrizes semelhantes), então . - Usar a forma de Jordan
para concluir que
,
ondesão os autovalores de (com multiplicidades).
Passo 2
Lembramos a propriedade fundamental do traço: para quaisquer matrizes
tais que os produtos
e
existam, vale
Uma demonstração rápida usa componentes:
Passo 3
Aplicamos essa propriedade ao caso
:
Aqui usamos que
. Assim mostramos a invariância do traço por semelhança.
Passo 4
Escolhendo
na forma de Jordan (que é triangular), seus elementos não nulos fora da diagonal são em geral uns e em outros lugares coeficientes, mas na diagonal principal aparecem exatamente os autovalores
. Como o traço dá soma da diagonal,
Da invariância do traço temos
, e então
Resposta
a)
para
.
b) .
b)