O traço de uma matriz An times n é a soma dos elementos da diagonal principal: tr(A)=sumi=1^n ai i.
P 10.3. a) Mostre que o traço de uma matriz é invariante por transformações de semelhança, isto é, se B=S^-1 A S, então tr(A)=tr(B).
b) Tomando acima J=S^-1 A S, conclua que tr(A)=sumi=1^n lambdai, onde lambdai, i= 1, cdots, n são os valores próprios de A incluindo multiplicidades.

Passo 1

O enunciado define o traço de uma matriz AinR^ntimes n por
tr(A)=sumi=1^n aii,
e pede dois resultados de Álgebra Linear:
  1. Mostrar que se B=S^-1AS (matrizes semelhantes), então tr(A)=tr(B).
  2. Usar a forma de Jordan J=S^-1AS para concluir que
    tr(A)=sumi=1^nlambdai,
    onde lambdai são os autovalores de A (com multiplicidades).

Passo 2

Lembramos a propriedade fundamental do traço: para quaisquer matrizes X,Y tais que os produtos XY e YX existam, vale
tr(XY)=tr(YX)
Uma demonstração rápida usa componentes:
tr(XY) =sumi=1^n (XY)ii =sumi=1^n sumj=1^n XijYji =sumj=1^n sumi=1^n YjiXij =sumj=1^n (YX)jj =tr(YX)

Passo 3

Aplicamos essa propriedade ao caso B=S^-1AS:
tr(B) =trl(S^-1ASr) =trl(AS,S^-1r) =tr(A,I) =tr(A)
Aqui usamos que SS^-1=I. Assim mostramos a invariância do traço por semelhança.

Passo 4

Escolhendo J=S^-1AS na forma de Jordan (que é triangular), seus elementos não nulos fora da diagonal são em geral uns e em outros lugares coeficientes, mas na diagonal principal aparecem exatamente os autovalores lambda1,dots,lambdan. Como o traço dá soma da diagonal,
tr(J) =sumi=1^n Jii =sumi=1^n lambdai
Da invariância do traço temos tr(A)=tr(J), e então
tr(A)=sumi=1^nlambdai

Resposta

a) tr(A)=tr(B) para B=S^-1AS.
b) tr(A)=sumi=1^nlambdai.

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