P 9.10. Seja A uma matriz n times n com polinómio característico f(x)=(c1- x)^d1 ldots(ck-x)^dk=det(A-x I). Mostre que tr(A)=c1 d1+cdots+ck dk.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A de ordem n cujo polinómio característico é
f(x)=det(A - xI)=l(c1-xr)^d1cdotsl(ck-xr)^dk
Queremos mostrar que
tr(A)=c1d1+cdots+ckdk
Para isso, vamos comparar o coeficiente de x^n-1 em duas formas de escrever det(A-xI).

Passo 2

Sabemos, em geral, que o desenvolvimento de det(A-xI) como polinómio em x é
det(A - xI)=(-1)^nx^n+(-1)^n-1l(tr(A)r)x^n-1+cdots+ det(A)
Ou seja, o coeficiente de x^n-1 é (-1)^n-1tr(A).

Passo 3

Por outro lado, reescrevemos o produto dado:

Passo 4

Expandindo em série o polinómio prodj=1^k(x - cj)^dj, que é monico de grau n=sum dj, obtemos
prodj=1^k(x - cj)^dj = x^n - l(sumj=1^k dj,cjr)x^n-1+cdots
Multiplicando por (-1)^n, fica
f(x)=(-1)^n x^n +(-1)^n+1l(sumj=1^k dj,cjr)x^n-1+cdots

Passo 5

Comparando o coeficiente de x^n-1 em
det(A - xI)=(-1)^n-1tr(A),x^n-1+cdots e f(x)=(-1)^n+1l(sum dj,cjr)x^n-1+cdots
vemos que
(-1)^n-1tr(A) = (-1)^n+1sumj=1^k dj,cj
Como (-1)^n-1=(-1)^n+1, concluímos
tr(A)=sumj=1^k dj,cj

Resposta

tr(A)=c1d1+cdots+ckdk

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