P 9.10. Seja
uma matriz
com polinómio característico
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
de ordem
cujo polinómio característico é
Queremos mostrar que
Para isso, vamos comparar o coeficiente de
em duas formas de escrever
.
Passo 2
Sabemos, em geral, que o desenvolvimento de
como polinómio em
é
Ou seja, o coeficiente de
é
.
Passo 3
Por outro lado, reescrevemos o produto dado:
Passo 4
Expandindo em série o polinómio
, que é monico de grau
, obtemos
Multiplicando por
, fica
Passo 5
Comparando o coeficiente de
em
vemos que
Como
, concluímos