P 9.9. Seja C^1[(0,1)] o espaço das funções reais continuamente diferenciáveis no intervalo (0,1) e T: C^1[(0,1)] C^1[(0,1)] o operador linear definido por T(f)(x)=x f^prime(x). Determine os valores próprios e vectores próprios de T.
Observação: pode ser-lhe útil verificar que
dd x[log |f(x)|]=f^prime(x)f(x)

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Tcolon C^1((0,1))to C^1((0,1)), T(f)(x)=x,f'(x)
e pede os valores próprios lambda e os vetores próprios fneq0 tais que
T(f)(x)=lambda,f(x)
O conteúdo principal aqui é resolver a equação diferencial ordinária resultante da condição de autovalor.

Passo 2

Escrevendo a equação de autovalor, temos
x,f'(x)=lambda,f(x)
Para funções não nulas em (0,1), podemos separar variáveis dividindo por f(x) e por x, obtendo
f'(x)f(x)=lambdax

Passo 3

Reconhecemos que tfracf'(x)f(x) é a derivada de ln|f(x)|. Integrando ambos os lados em relação a x,
integral f'(x)f(x),dx = integral lambdax,dx Longrightarrow lnl|f(x)r|=lambdaln x + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando, obtemos a forma geral da solução:
f(x)=A,x^lambda, A=e^Cneq0

Passo 4

Concluímos que, para cada lambdainR, a função
f(x)=x^lambda
é autovetor de T associado ao autovalor lambda, pois
Tl(x^lambdar)(x) = xddxl(x^lambdar) = xl(lambda,x^lambda-1r) = lambda,x^lambda

Resposta

Os valores próprios de T são todos os lambdainR.
Para cada lambda, os vetores próprios são as funções
f(x)=A,x^lambda, Aneq0

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