P 9.9. Seja o espaço das funções reais continuamente diferenciáveis no intervalo e o operador linear definido por . Determine os valores próprios e vectores próprios de .
Observação: pode ser-lhe útil verificar que
Passo 1
O enunciado define o operador linear
e pede os valores próprios e os vetores próprios tais que
O conteúdo principal aqui é resolver a equação diferencial ordinária resultante da condição de autovalor.
Passo 2
Escrevendo a equação de autovalor, temos
Para funções não nulas em , podemos separar variáveis dividindo por e por , obtendo
Passo 3
Reconhecemos que é a derivada de . Integrando ambos os lados em relação a ,
onde C é constante de integração. Exponenciando, obtemos a forma geral da solução:
f(x)=A,x^lambda, A=e^Cneq0
Passo 4
Concluímos que, para cada lambdainR, a função
f(x)=x^lambda
é autovetor de T associado ao autovalor lambda, pois