2 (2,0 pts.) Dê exemplo de uma aplicação linear como a que se pede em cada caso.
T: R^3 R^2 sobrejetiva.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de aplicação linear Tcolon R^3toR^2 que seja sobrejetiva. Lembra que ser sobrejetiva significa que, para cada vetor em R^2, existe pelo menos um vetor em R^3 que é enviado nele. Em termos de posto (rank), precisamos de um operador de posto igual a 2.

Passo 2

Vamos definir uma transformação que “projeta” nas duas primeiras coordenadas. Por exemplo, seja
T(x,y,z) = (x,y)
Para ver que T é linear, basta checar que ela preserva soma e multiplicação por escalar:
Tl(a(x1,y1,z1)+b(x2,y2,z2)r) = Tl(ax1+bx2,;ay1+by2,;az1+bz2r) = (ax1+bx2,;ay1+by2) = a(x1,y1)+b(x2,y2) = a,T(x1,y1,z1)+b,T(x2,y2,z2)

Passo 3

Para mostrar que T é sobrejetiva, tome um vetor qualquer (u,v)inR^2. Precisamos encontrar (x,y,z)inR^3 tal que
T(x,y,z) = (u,v)
Basta escolher (x,y,z) = (u,v,0). Então
T(u,v,0) = (u,v),
logo todo (u,v) tem pelo menos um antimagem e T é de fato sobrejetiva.

Resposta

Um exemplo simples é
T(x,y,z) = (x,y),
que é linear e sobrejetiva de R^3 em R^2.

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