2 (2,0 pts.) Dê exemplo de uma aplicação linear como a que se pede em cada caso.
sobrejetiva.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de aplicação linear
que seja sobrejetiva. Lembra que ser sobrejetiva significa que, para cada vetor em
, existe pelo menos um vetor em
que é enviado nele. Em termos de posto (rank), precisamos de um operador de posto igual a 2.
Passo 2
Vamos definir uma transformação que “projeta” nas duas primeiras coordenadas. Por exemplo, seja
Para ver que
é linear, basta checar que ela preserva soma e multiplicação por escalar:
Passo 3
Para mostrar que
é sobrejetiva, tome um vetor qualquer
. Precisamos encontrar
tal que
Basta escolher
. Então
logo todo
tem pelo menos um antimagem e
é de fato sobrejetiva.
Resposta
Um exemplo simples é
que é linear e sobrejetiva de
em
.