P 11.10.
Escreva uma equação cartesiana do plano perpendicular à recta
x-5=2 y-4=z
e que contém o ponto (5,4,0).

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana de um plano que (i) é perpendicular à reta
x-5 = 2y-4 = z
e (ii) contém o ponto (5,4,0).
O conteúdo envolve extrair o vetor diretor da reta e usar a forma ponto–normal do plano, já que, se a reta é perpendicular ao plano, seu vetor diretor é normal ao plano.

Passo 2

Escrevemos a reta em forma paramétrica tomando
lambda = x-5 = 2y-4 = z
Então
x = 5 + lambda, 2y - 4 = lambda implies y = 2 + tfraclambda2, z = lambda
O vetor diretor da reta é
v = (1,tfrac12,1)
Multiplicando por 2 para obter inteiros, podemos usar
n = (2,1,2)
como vetor normal ao plano.

Passo 3

A forma ponto–normal do plano que contém o ponto P0=(5,4,0) e tem vetor normal n=(2,1,2) é
ncdotl((x,y,z)-P0r)=0
Isto é,
(2,1,2)cdotl((x,y,z)-(5,4,0)r)=0

Passo 4

Fazendo o produto escalar e simplificando:
2(x-5)+1(y-4)+2(z-0)=0
2x-10 + y-4 + 2z = 0
2x + y + 2z - 14 = 0

Resposta

A equação buscada é
2x + y + 2z - 14 = 0

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