Verifique, em cada caso, se o conjunto W dado é um subespaço de R^3 :
W=(x, y, z) in R^3: 2 x+3 y-z=1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = (x,y,z)in R^3mid 2x + 3y - z = 1
é um subespaço de R^3. O conteúdo aqui é Espaços Vetoriais: para mostrar que W é subespaço, precisamos checar que ele contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar.

Passo 2

Recordando a definição, um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se, valem simultaneamente:
  1. 0in W.
  2. Para quaisquer u,vin W, tem-se u+vin W.
  3. Para qualquer uin W e qualquer escalar lambda, tem-se lambda uin W.

Passo 3

Verificamos o vetor zero 0 = (0,0,0). Substituindo em 2x+3y-z=1
2cdot 0 + 3cdot 0 - 0 = 0 neq 1
Logo 0notin W.

Passo 4

Como o vetor zero não pertence a W, a condição (1) falha. Dessa forma, não é preciso checar fechamento sob soma ou escalar: W não é subespaço de R^3.

Resposta

W não é subespaço de R^3.

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