Seja V=Pn(R) o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a n com coeficientes reais. Determine se os seguintes conjuntos são ou não subespaços vetoriais de V.
W=P5(R)

Passo 1

O enunciado define
V = Pn(R),
isto é, todos os polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a n, e pede para verificar se
W = P5(R)
é subespaço de V.
Para ser subespaço, primeiro precisamos ter Wsubseteq V; depois, dentro de V, W deve conter o polinômio zero e ser fechado em soma e multiplicação por escalares.

Passo 2

Verificamos a inclusão Wsubseteq V. Um polinômio pin W tem deg(p)<=5. Para que p também pertença a V, precisamos de deg(p)<= n. Logo
Wsubseteq V Long<=ftrightarrow 5 <= n

Passo 3

Supondo n>=5, temos Wsubseteq V. Agora checamos as propriedades de subespaço em V:
  1. O polinômio zero está em W, pois deg(0)=-infty<=5.
  2. Se p,qin W, então deg(p)<=5 e deg(q)<=5. A soma satisfaz
deg(p+q)<=maxdeg(p),deg(q)<=5,
logo p+qin W.
3. Se pin W e lambdainR, então
deg(lambda p)=deg(p)<=5,
portanto lambda pin W.
Isso mostra que, quando n>=5, W é subespaço de V.

Passo 4

Se n<5, existem polinômios em W (por exemplo x^5) cuja grau ultrapassa n, então Wnotsubseteq V e nem faz sentido testar fechamento: não é subespaço.

Resposta

W=P5(R) é subespaço de V=Pn(R) se, e somente se, n>=5. Caso n<5, não é subespaço.

Exercícios relacionados