Seja
o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a
com coeficientes reais. Determine se os seguintes conjuntos são ou não subespaços vetoriais de
.
Passo 1
O enunciado define
isto é, todos os polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a
, e pede para verificar se
é subespaço de
.
Para ser subespaço, primeiro precisamos ter ; depois, dentro de
,
deve conter o polinômio zero e ser fechado em soma e multiplicação por escalares.
Para ser subespaço, primeiro precisamos ter
Passo 2
Verificamos a inclusão
. Um polinômio
tem
. Para que
também pertença a
, precisamos de
. Logo
Passo 3
Supondo
, temos
. Agora checamos as propriedades de subespaço em
:
- O polinômio zero está em
, pois . - Se
, então e . A soma satisfaz
logo
.
3. Se e
, então
3. Se
portanto
.
Isso mostra que, quando ,
é subespaço de
.
Isso mostra que, quando
Passo 4
Se
, existem polinômios em
(por exemplo
) cuja grau ultrapassa
, então
e nem faz sentido testar fechamento: não é subespaço.