P 11.10.
Escreva equações cartesianas que definem a recta que é perpendicular ao subconjunto afim definido por A x+B y+C z=raiz2, com(A, B, C) neq(0,0,0), e que contém a origem.

Passo 1

O enunciado dá o plano
A x + B y + C z = raiz2,
com (A,B,C)neq(0,0,0), e pede a reta que passa pela origem e é perpendicular a esse plano. Para resolver, vamos usar o fato de que o vetor normal do plano também é a direção da reta perpendicular.

Passo 2

O vetor normal do plano é
n = (A,B,C)
Como a reta deve passar pela origem e ter direção n, suas equações paramétricas são
x = A,t, y = B,t, z = C,t, tinR

Passo 3

Para obter equações cartesianas, basta eliminar t nas paramétricas. Sempre que A, B e C forem não-nulos, temos
xA ;=;yB;=;zC
De modo totalmente equivalente, podemos requerer que (x,y,z) seja colinear com (A,B,C), o que se traduz no sistema homogêneo
B z - C y = 0 C x - A z = 0 A y - B x = 0

Resposta

xA ;=;yB;=;zC
ou, equivalentemente,
B z - C y = 0 C x - A z = 0 A y - B x = 0

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