P 11.8. Considere o espaço euclidiano real
das sucessões
de números reais tais que
é convergente, com o produto interno definido por
Esta série é absolutamente convergente para todas as sucessões
. Considere também o conjunto
das sucessões com um número finito de termos não-nulos.
a) Mostre que
é um subespaço de
.
b) Determine os subespaços
e
.
c) Prove que
tem dimensão infinita.
d) Mostre que
possui um número infinito de vectores linearmente independentes.
é subespaço de
?
a) Mostre que
b) Determine os subespaços
c) Prove que
d) Mostre que
Passo 1
O enunciado trata do espaço
das sucessões reais
com
, dotado do produto interno
Definimos o subconjunto
formado pelas sucessões de suporte finito (isto é, só um número finito de
). Os itens pedem:
a) mostrar que é subespaço de
,
b) encontrar ,
e
,
c) provar que ,
d) exibir em infinitos vetores independentes e decidir se
é subespaço.
a) mostrar que
b) encontrar
c) provar que
d) exibir em
Passo 2
Para (a), lembramos que um subconjunto de espaço vetorial é subespaço se for fechado em soma e multiplicação escalar e contiver o vetor zero. Seja
. Como cada sequência tem apenas um número finito de termos não nulos, a soma
também tem apenas suporte finito, logo pertence a
. Para qualquer escalar
,
continua tendo suporte finito, então
. Finalmente, a sequência nula (todos
) está em
. Concluímos que
é subespaço de
.
Passo 3
Para (b), usamos a definição de complemento ortogonal:
Tomando
, escolhemos para cada índice
a sequência
com
e
para
. Então
logo todo
e
é a sequência nula. Segue
.
Em seguida
Em seguida
pois só o vetor zero ortogonal a tudo gera complemento ortogonal igual a todo o espaço. Finalmente
Passo 4
Para (c), basta exibir uma base infinita de
estão em ,
.
Passo 5
Para (d), queremos mostrar que
Cada , mas tem suporte infinito, então
. Se uma combinação linear finita
em cada coordenada, analisando primeiro
obtemos
e depois, para
,
, daí
. Repetindo o argumento, conclui-se que todos os
, logo são independentes.
Por fim,
não contém o vetor zero e não é fechado em soma ou multiplicação escalar (por exemplo,
mas
), portanto não é subespaço.
Resposta
a)
é subespaço de
.
b) ,
e
.
c) .
d) contém infinitos vetores linearmente independentes e não é subespaço de
.
b)
c)
d)