P 11.8. Considere o espaço euclidiano real V das sucessões un de números reais tais que sumn=1^infty un^2 é convergente, com o produto interno definido por
lang<=un,vnrang<==sumn=1^infty un vn
Esta série é absolutamente convergente para todas as sucessões un,vn in V. Considere também o conjunto S subset V das sucessões com um número finito de termos não-nulos.
a) Mostre que S é um subespaço de V.
b) Determine os subespaços S^perp,(S^perp)^perp e S+S^perp.
c) Prove que S tem dimensão infinita.
d) Mostre que V backslash S possui um número infinito de vectores linearmente independentes. V backslash S é subespaço de V ?

Passo 1

O enunciado trata do espaço V=ell^2 das sucessões reais un com sumn=1^infty un^2<infty, dotado do produto interno
llang<=un,vnrrang<==sumn=1^infty un vn
Definimos o subconjunto Ssubset V formado pelas sucessões de suporte finito (isto é, só um número finito de unneq0). Os itens pedem:
a) mostrar que S é subespaço de V,
b) encontrar S^perp, (S^perp)^perp e S+S^perp,
c) provar que dim S=infty,
d) exibir em Vsetminus S infinitos vetores independentes e decidir se Vsetminus S é subespaço.

Passo 2

Para (a), lembramos que um subconjunto de espaço vetorial é subespaço se for fechado em soma e multiplicação escalar e contiver o vetor zero. Seja un,vnin S. Como cada sequência tem apenas um número finito de termos não nulos, a soma un+vn também tem apenas suporte finito, logo pertence a S. Para qualquer escalar lambda, lambda un continua tendo suporte finito, então lambdaunin S. Finalmente, a sequência nula (todos 0) está em S. Concluímos que S é subespaço de V.

Passo 3

Para (b), usamos a definição de complemento ortogonal:
S^perp=lwin Vmidllang<= w,srrang<==0 forall,sin Sr
Tomando w=wnin S^perp, escolhemos para cada índice j a sequência s com sj=1 e sn=0 para nneq j. Então
0=lang<= w,srang<==sumn=1^infty wn sn=wj,
logo todo wj=0 e w é a sequência nula. Segue S^perp=0.
Em seguida
(S^perp)^perp=0^perp=V
pois só o vetor zero ortogonal a tudo gera complemento ortogonal igual a todo o espaço. Finalmente
S+S^perp=S+0=S

Passo 4

Para (c), basta exibir uma base infinita de
estão em , .

Passo 5

Para (d), queremos mostrar que
Cada , mas tem suporte infinito, então . Se uma combinação linear finita em cada coordenada, analisando primeiro obtemos e depois, para , , daí . Repetindo o argumento, conclui-se que todos os , logo são independentes.
Por fim, não contém o vetor zero e não é fechado em soma ou multiplicação escalar (por exemplo, mas ), portanto não é subespaço.

Resposta

a) S é subespaço de V.
b) S^perp=0, (S^perp)^perp=V e S+S^perp=S.
c) dim S=infty.
d) Vsetminus S contém infinitos vetores linearmente independentes e não é subespaço de V.

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