Represente geometricamente cada uma das seguintes transformações :
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Queremos entender geometricamente o que essa aplicação faz ao plano. Para isso, vamos examinar como ela age sobre vetores básicos e depois sobre um ponto genérico, identificando projeção e escala.
Passo 2
Vamos ver o efeito em cada vetor canônico:
– Para ,
– Para
Isto é, o eixo
é dilatado por fator
.
– Para ,
– Para
Ou seja, o eixo
é totalmente colapsado no ponto origem.
Passo 3
Para um ponto genérico
, escrevemos
Isso mostra que primeiro se anula a componente
(projeção ortogonal no eixo
) e em seguida a componente
é ampliada em fator
.
Passo 4
Geometricamente,
é a composição de duas operações:
- projeção de todo o plano sobre o eixo
, colapsando retas verticais em pontos; - dilatação ao longo do eixo
de razão , multiplicando distâncias ao longo desse eixo por .
O resultado é que o plano inteiro é enviado para o eixo, esticado em torno da origem.
Resposta
A transformação
representa a projeção de
no eixo
seguida de uma dilatação de razão
ao longo desse eixo, colapsando o eixo
em
e enviando cada ponto
para
.