Represente geometricamente cada uma das seguintes transformações :
T(x, y)=(3 x, 0)

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
TcolonR^2 to R^2, T(x,y) = (3x,0)
Queremos entender geometricamente o que essa aplicação faz ao plano. Para isso, vamos examinar como ela age sobre vetores básicos e depois sobre um ponto genérico, identificando projeção e escala.

Passo 2

Vamos ver o efeito em cada vetor canônico:
– Para e1 = (1,0),
T(1,0) = (3cdot1,0) = (3,0)
Isto é, o eixo x é dilatado por fator 3.
– Para e2 = (0,1),
T(0,1) = (3cdot0,0) = (0,0)
Ou seja, o eixo y é totalmente colapsado no ponto origem.

Passo 3

Para um ponto genérico (x,y), escrevemos
T(x,y) = (3x,0)
Isso mostra que primeiro se anula a componente y (projeção ortogonal no eixo x) e em seguida a componente x é ampliada em fator 3.

Passo 4

Geometricamente, T é a composição de duas operações:
  1. projeção de todo o plano sobre o eixo x, colapsando retas verticais em pontos;
  2. dilatação ao longo do eixo x de razão 3, multiplicando distâncias ao longo desse eixo por 3.
    O resultado é que o plano inteiro é enviado para o eixo x, esticado em torno da origem.

Resposta

A transformação T(x,y)=(3x,0) representa a projeção de R^2 no eixo x seguida de uma dilatação de razão 3 ao longo desse eixo, colapsando o eixo y em (0,0) e enviando cada ponto (x,y) para (3x,0).

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