Seja
o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a
. Mostre que as transformações a seguir são lineares:
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
formado pelos polinômios de grau menor ou igual a
com coeficientes em
. Precisamos mostrar que as aplicações
são lineares, ou seja, satisfazem a propriedade
para quaisquer escalares
em
e quaisquer
.
Passo 2
Relembrando a definição: uma transformação
entre espaços vetoriais é linear se, para todos
e todos
em seu domínio,
Vamos aplicar isso primeiro a
.
Passo 3
Sejam
e
. Então
Aplicando
a esse polinômio,
Por distribuição em
e nas somas de monômios, isso se separa em
Logo
é linear.
Passo 4
Agora aplicamos o mesmo raciocínio para
. Com
e
dados acima,
Então
Reagrupando,
Portanto
também é linear.
Resposta
As aplicações
e
satisfazem a propriedade de linearidade, logo ambas são transformações lineares.