Seja Pn(K) o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a n. Mostre que as transformações a seguir são lineares:
T((a0+a1 t+cdots+an t^n) & =a0 t+a1 t^2+cdots+an t^n+1 S(a0+a1 t+cdots+an t^n) & =a1+a2 t+cdots+an t^n-1

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial Pn(K) formado pelos polinômios de grau menor ou igual a n com coeficientes em K. Precisamos mostrar que as aplicações
Tl(a0+a1t+cdots+ant^nr) = a0t + a1t^2 + cdots + ant^n+1,
Sl(a0+a1t+cdots+ant^nr) = a1 + a2t + cdots + ant^n-1
são lineares, ou seja, satisfazem a propriedade
Ll(alpha p + beta qr) = alpha,L(p) + beta,L(q)
para quaisquer escalares alpha,beta em K e quaisquer p,qin Pn(K).

Passo 2

Relembrando a definição: uma transformação L entre espaços vetoriais é linear se, para todos alpha,betain K e todos p,q em seu domínio,
Ll(alpha p + beta qr) = alpha,L(p) + beta,L(q)
Vamos aplicar isso primeiro a T.

Passo 3

Sejam
p(t)=a0+a1t+cdots+ant^n, q(t)=b0+b1t+cdots+bnt^n,
e alpha,betain K. Então
alpha p + beta q = (alpha a0+beta b0) + (alpha a1+beta b1)t + cdots + (alpha an+beta bn)t^n
Aplicando T a esse polinômio,
Tl(alpha p + beta qr) = (alpha a0+beta b0),t + (alpha a1+beta b1),t^2 + cdots + (alpha an+beta bn),t^n+1
Por distribuição em K e nas somas de monômios, isso se separa em
alphal(a0t + a1t^2 + cdots + ant^n+1r) + betal(b0t + b1t^2 + cdots + bnt^n+1r) = alpha,T(p) + beta,T(q)
Logo T é linear.

Passo 4

Agora aplicamos o mesmo raciocínio para S. Com p e q dados acima,
alpha p + beta q = (alpha a0+beta b0) + (alpha a1+beta b1)t + cdots + (alpha an+beta bn)t^n
Então
Sl(alpha p + beta qr) = (alpha a1+beta b1) + (alpha a2+beta b2),t + cdots + (alpha an+beta bn),t^n-1
Reagrupando,
alphal(a1 + a2t + cdots + ant^n-1r) + betal(b1 + b2t + cdots + bnt^n-1r) = alpha,S(p) + beta,S(q)
Portanto S também é linear.

Resposta

As aplicações T e S satisfazem a propriedade de linearidade, logo ambas são transformações lineares.

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