P 11.4. Determine todos os produtos internos do espaço linear real R e do espaço linear complexo C.

Passo 1

O enunciado pede para classificar todos os produtos internos no espaço real de dimensão 1, R, e no espaço complexo de dimensão 1, C.
Conteúdo: em espaços unidimensionais, todo produto interno (bilinear simétrico no caso real, sesquilinear hermitiano no caso complexo) é obtido por um escalar positivo multiplicando o produto canônico.

Passo 2

Seja lang<=cdot,cdotrang<= um produto interno em R. Como R tem base canônica e=1, defina
alpha = lang<= 1,1rang<=
Pela bilinearidade e simetria, para quaisquer x,yinR temos
lang<= x,yrang<= = lang<= xcdot1,;ycdot1rang<= = x,y,lang<=1,1rang<= = alpha,x,y
A positividade forte exige lang<= x,xrang<= = alpha,x^2>0 para xneq0, logo alpha>0.

Passo 3

Seja lang<=cdot,cdotrang<= um produto interno em C, ou seja, uma forma sesquilinear hermitiana positiva-definida. Usando a base canônica e=1, defina
beta = lang<= 1,1rang<=
Pela sesquilinearidade (linear na primeira entrada e conjugada na segunda, ou vice-versa conforme convenção) e hermiticidade, para quaisquer z,winC resulta
lang<= z,wrang<= = lang<= zcdot1,;wcdot1rang<= = z,w,lang<=1,1rang<= = beta,z,w
A condição de positividade forte lang<= z,zrang<==beta,|z|^2>0 para zneq0 impõe beta>0 e real.

Resposta

Em R, todos os produtos internos são
lang<= x,yrang<= = alpha,x,y, alpha>0
Em C, todos os produtos internos hermitianos são
lang<= z,wrang<= = beta,z,w, beta>0

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