P 11.4. Determine todos os produtos internos do espaço linear real e do espaço linear complexo .
Passo 1
O enunciado pede para classificar todos os produtos internos no espaço real de dimensão 1, , e no espaço complexo de dimensão 1, .
Conteúdo: em espaços unidimensionais, todo produto interno (bilinear simétrico no caso real, sesquilinear hermitiano no caso complexo) é obtido por um escalar positivo multiplicando o produto canônico.
Passo 2
Seja um produto interno em . Como tem base canônica , defina
Pela bilinearidade e simetria, para quaisquer temos
A positividade forte exige para , logo .
Passo 3
Seja um produto interno em , ou seja, uma forma sesquilinear hermitiana positiva-definida. Usando a base canônica , defina
Pela sesquilinearidade (linear na primeira entrada e conjugada na segunda, ou vice-versa conforme convenção) e hermiticidade, para quaisquer resulta
A condição de positividade forte lang<= z,zrang<==beta,|z|^2>0 para zneq0 impõe beta>0 e real.