P 11.5. Seja P1 o espaço linear real de polinómios com coeficientes reais de grau menor ou igual um.
a) Mostre que a função
lang<= a0+a1 x, b0+b1 xrang<==a0 b0+a0 b12+a1 b02+a1 b13
define um produto interno em P1.
b) Determine uma matriz A tal que
lang<= a0+a1 x, b0+b1 xrang<==[a0 a1] A[l b0 b1 ]

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço dos polinómios reais de grau e define a aplicação
Na parte (a) precisamos de mostrar que isto é um produto interno (simetria, bilinearidade e positiva-definição). Na parte (b) pedem a matriz tal que
relativa à base .

Passo 2

Verificamos simetria e bilinearidade diretamente pela fórmula:
– Trocar (a0,a1) com (b0,b1) não altera o valor, logo
lang<= p,qrang<= = lang<= q,prang<=
– Cada termo é bilinear em (a0,a1) e (b0,b1), logo
lang<= alpha p + beta r,;qrang<= = alpha,lang<= p,qrang<= + beta,lang<= r,qrang<=
e idem na segunda coordenada.

Passo 3

Para p(x)=a0+a1x temos
lang<= p,prang<= = a0^2 + a0a1 + a1^23 = l(a0+tfraca12r)^2 + a1^212;>=0
A igualdade só ocorre se a1=0 e a0+tfraca12=0, isto é, a0=a1=0. Logo é positiva-definida.

Passo 4

Na base (1,x) a matriz de Gram A tem entradas
A11=lang<= 1,1 rang<= = 1, A12=lang<= 1,x rang<= = tfrac12, A21=lang<= x,1 rang<= = tfrac12, A22=lang<= x,x rang<= = tfrac13
Portanto
A = 1 & tfrac12[6pt] tfrac12 & tfrac13 ]

Resposta

a) A aplicação definida é de facto um produto interno em P1.
b) A matriz correspondente é
A = 1 & tfrac12 tfrac12 & tfrac13

Exercícios relacionados