P 11.5. Seja
o espaço linear real de polinómios com coeficientes reais de grau menor ou igual um.
a) Mostre que a função
define um produto interno em
.
b) Determine uma matriz
tal que
a) Mostre que a função
b) Determine uma matriz
Passo 1
O enunciado trabalha no espaço
dos polinómios reais de grau
e define a aplicação
Na parte (a) precisamos de mostrar que isto é um produto interno (simetria, bilinearidade e positiva-definição). Na parte (b) pedem a matriz
tal que
relativa à base
.
Passo 2
Verificamos simetria e bilinearidade diretamente pela fórmula:
– Trocar com
não altera o valor, logo
– Trocar
– Cada termo é bilinear em
e
, logo
e idem na segunda coordenada.
e idem na segunda coordenada.
Passo 3
Para
temos
A igualdade só ocorre se
e
, isto é,
. Logo é positiva-definida.
Passo 4
Na base
a matriz de Gram
tem entradas
Portanto
Resposta
a) A aplicação definida é de facto um produto interno em
P1 .
b) A matriz correspondente é
b) A matriz correspondente é