Quais das seguintes transformações são lineares? e justifique.
Passo 1
O enunciado pede para testar se a transformação
é linear. Para isso vamos usar a definição:
é linear se, para todo
e todo escalar
, valem
-
(aditividade). -
(homogeneidade).
Passo 2
Testando a aditividade, calculemos
enquanto
Em geral
. Por exemplo, se
então
mas
.
Logo a aditividade falha.
mas
Logo a aditividade falha.
Passo 3
Testando a homogeneidade, temos
enquanto
Em geral
. Por exemplo, se
e
então
mas
.
Logo a homogeneidade também falha.
mas
Logo a homogeneidade também falha.
Resposta
A transformação
não é linear, pois não satisfaz nem aditividade nem homogeneidade.