Quais das seguintes transformações são lineares? e justifique.
T(x, y)=(sen x, sen y)

Passo 1

O enunciado pede para testar se a transformação
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y) = (sin x,;sin y)
é linear. Para isso vamos usar a definição: T é linear se, para todo (x1,y1),(x2,y2)inR^2 e todo escalar a, valem
  1. Tl((x1,y1)+(x2,y2)r)=T(x1,y1)+T(x2,y2) (aditividade).
  2. Tl(a,(x,y)r)=a,T(x,y) (homogeneidade).

Passo 2

Testando a aditividade, calculemos
Tl((x1,y1)+(x2,y2)r) = T(x1+x2,;y1+y2) = l(sin(x1+x2),;sin(y1+y2)r)
enquanto
T(x1,y1)+T(x2,y2) = (sin x1,sin y1)+(sin x2,sin y2) = (sin x1+sin x2,;sin y1+sin y2)
Em geral sin(x1+x2)neq sin x1+sin x2. Por exemplo, se x1=x2=tfracpi2 então
sin(pi/2+pi/2)=sinpi=0
mas
sin(pi/2)+sin(pi/2)=1+1=2.
Logo a aditividade falha.

Passo 3

Testando a homogeneidade, temos
Tl(a,(x,y)r) = T(ax,;ay) = (sin(ax),;sin(ay))
enquanto
a,T(x,y) = a,(sin x,;sin y) = (asin x,;asin y)
Em geral sin(ax)neq asin x. Por exemplo, se a=2 e x=tfracpi4 então
sin(2cdotpi/4)=sin(pi/2)=1
mas
2sin(pi/4)=2cdotraiz22=raiz2neq1.
Logo a homogeneidade também falha.

Resposta

A transformação T(x,y)=(sin x,sin y) não é linear, pois não satisfaz nem aditividade nem homogeneidade.

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