Represente geometricamente cada uma das seguintes transformações :
T(x, y)=(x+y, y)

Passo 1

O enunciado pede para “desenhar” geometricamente a transformação linear
TcolonR^2toR^2, T(x,y)=(x+y,y)
O conteúdo envolvido é identificação da matriz associada a T e interpretação geométrica do seu efeito no plano (tipo de deformação, retas e vetores fixos etc.).

Passo 2

Como é linear, basta escrever sua matriz na base canônica , onde e . Note que

Passo 3

Calculemos as imagens dos vetores da base:
T(e1)=T(1,0)=(1+0,0)=(1,0)=e1,
T(e2)=T(0,1)=(0+1,1)=(1,1)=e1+e2
Logo, e1 fica fixo e e2 “escorrega” na direção de e1.

Passo 4

Isso caracteriza um cisalhamento (shear) horizontal de fator 1 paralelo ao eixo x:
  • Qualquer reta de equação y=c (reta horizontal) é levada em si, pois o segundo componente permanece y=c.
  • Cada ponto (x,y) desloca-se horizontalmente um valor igual a y. Em outras palavras, a altura y determina o deslocamento ao longo de x.

Passo 5

Para visualizar, considere o quadrado unidade com vértices
(0,0), (1,0), (0,1), (1,1). Sob T eles viram
(0,0)mapsto(0,0), (1,0)mapsto(1,0), (0,1)mapsto(1,1), (1,1)mapsto(2,1),
formando um paralelogramo obtido por um “esborrachar” horizontal do quadrado original.

Resposta

A transformação T(x,y)=(x+y,y) é um cisalhamento horizontal de fator 1, que fixa todos os pontos de retas horizontais e desloca cada ponto (x,y) na direção x de um valor igual a y.

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