P 12.6. Dê um exemplo de uma matriz real que tenha todos os valores próprios sobre o círculo unitário ( ) mas que não seja unitária. Uma matriz nestas condições poderá ser simétrica? E anti-simétrica?
Passo 1
O problema pede uma matriz real cujos valores próprios satisfaçam , mas que não seja unitária (isto é, não seja ortogonal, pois em real “unitária” equivale a ortogonal). Em seguida pergunta se, sob essas mesmas condições de valores próprios, a matriz pode ser simétrica e se pode ser antissimétrica. Vamos usar conceitos de autovalores, ortogonalidade e propriedades de matrizes simétricas e antissimétricas.
Passo 2
Proponha a matriz de Jordan de ordem 3 com autovalor :
O polinômio característico é
chiA(lambda) = det(A - lambda I) = (1-lambda)^3,
logo o único autovalor é lambda=1, com multiplicidade algébrica 3, e portanto todos os valores próprios satisfazem |lambda|=1.
Passo 3
Para ver que A não é ortogonal (logo não é unitária em real), basta notar que
A^T = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ,
então
A^T A = 1 & 1 & 0 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 neq I3
Como A^T Aneq I, A não é ortogonal e portanto não é unitária.
Passo 4
Se uma matriz real B é simétrica e todos os seus autovalores têm módulo 1, então seus autovalores reais só podem ser pm1. Como B é simétrica, existe ortogonal Q tal que
B = Q,diag(pm1,pm1,pm1),Q^T
Mas então
B^T B = Q,diag(pm1,pm1,pm1)^2,Q^T = Q I3 Q^T = I3,
logo B é ortogonal. Conclusão: não existe matriz real simétrica com |lambda|=1 que não seja unitária.
Passo 5
Se C é real antissimétrica (C^T=-C) em dimensão ímpar, sempre tem autovalor 0 (pois det C = det(-C)=(-1)^3det Cimpliesdet C=0). Logo não é possível ter três autovalores todos com |lambda|=1.
Resposta
Um exemplo é
A= 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 ,
que tem lambda=1 (triplo) mas não é unitária.
Não pode ser simétrica (pois simétrica com |lambda|=1 seria ortogonal) e não pode ser antissimétrica (pois teria obrigatoriamente o autovalor zero).