Calcule o lugar geométrico equidistante as retas reversas
(r1): x-11=y-12=z-13=t, (r2): x+13=y+12=z-11=s
Isto é, determine p in R^3: d(p, r1)=d(p, r2).

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P=(x,y,z) que satisfazem
dl(P,r1r)=dl(P,r2r),
onde as retas r1 e r2 são dadas em forma paramétrica. O conteúdo principal é usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta em R^3:
d(P,L)=l|(P-A)times ur||u|,
sendo A um ponto qualquer da reta L e u seu vetor diretor.

Passo 2

Escrevemos as retas em forma vetorial. Para
(r1): x-11=y-12=z-13=t
tomamos
A=(1,1,1), u=(1,2,3)
Para
(r2): x+13=y+12=z-11=s
tomamos
B=(-1,-1,1), v=(3,2,1)
Seja P=(x,y,z).

Passo 3

A condição d(P,r1)=d(P,r2) implica
l|(P-A)times ur||u| = l|(P-B)times vr||v|
Como |u|^2=1^2+2^2+3^2=14 e |v|^2=3^2+2^2+1^2=14, os denominadores são iguais, então basta
l|(P-A)times ur|^2 = l|(P-B)times vr|^2

Passo 4

Usamos a identidade
|Xtimes Y|^2=|X|^2|Y|^2-(Xcdot Y)^2
para reescrever cada lado:
l|(P-A)times ur|^2 = |(P-A)|^2,|u|^2 -l((P-A)cdot ur)^2,
l|(P-B)times vr|^2 = |(P-B)|^2,|v|^2 -l((P-B)cdot vr)^2
Como |u|^2=|v|^2=14, a igualdade vira
14,|(P-A)|^2 -l((P-A)cdot ur)^2 = 14,|(P-B)|^2 -l((P-B)cdot vr)^2

Passo 5

Calculamos os itens:
P-A=(x-1,y-1,z-1), P-B=(x+1,y+1,z-1),
(P-A)cdot u= (x-1)+2(y-1)+3(z-1)=x+2y+3z-6,
(P-B)cdot v=3(x+1)+2(y+1)+(z-1)=3x+2y+z+4,
|(P-A)|^2=(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2, |(P-B)|^2=(x+1)^2+(y+1)^2+(z-1)^2

Passo 6

Substituindo em
14,|(P-A)|^2 -l(x+2y+3z-6r)^2 = 14,|(P-B)|^2 -l(3x+2y+z+4r)^2
e expandindo, cancelando termos iguais e coletando, chega-se à forma quadrática
2x^2+2xy-2yz-2z^2-5x-4y+11z-5=0

Resposta

O lugar geométrico equidistante de r1 e r2 é o conjunto dos (x,y,z)inR^3 que satisfazem
2x^2+2xy-2yz-2z^2-5x-4y+11z-5=0

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