Calcule o lugar geométrico equidistante as retas reversas
Isto é, determine
.
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos
que satisfazem
onde as retas
e
são dadas em forma paramétrica. O conteúdo principal é usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta em
:
sendo
A um ponto qualquer da reta
L e
u seu vetor diretor.
Passo 2
Escrevemos as retas em forma vetorial. Para
tomamos
Para
tomamos
Seja
P=(x,y,z) .
Passo 3
A condição
d(P,r1)=d(P,r2) implica
Como
|u|^2=1^2+2^2+3^2=14 e
|v|^2=3^2+2^2+1^2=14 , os denominadores são iguais, então basta
Passo 4
Usamos a identidade
para reescrever cada lado:
Como
|u|^2=|v|^2=14 , a igualdade vira
Passo 5
Calculamos os itens:
Passo 6
Substituindo em
e expandindo, cancelando termos iguais e coletando, chega-se à forma quadrática
Resposta
O lugar geométrico equidistante de
r1 e
r2 é o conjunto dos
(x,y,z)inR^3 que satisfazem