P 13.6. Sendo
e
matrizes reais simétricas, mostre através de um exemplo que os valores próprios da matriz
podem não ser reais. E se uma das matrizes consideradas for definida positiva?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro, mostrar por meio de um exemplo que, mesmo sendo
e
matrizes reais simétricas, a matriz produto
pode ter valores próprios não reais. Em seguida, investigar o que muda se uma das matrizes for definida positiva. Vamos usar conceitos de matriz simétrica, valor próprio e similaridade de matrizes.
Passo 2
Escolhemos duas matrizes
simétricas cujos produto não será simétrico nem terá espectro real. Definimos
Ambas são simétricas. Calculamos
O polinômio característico de
é
Portanto os valores próprios vêm de
, ou seja
que não são reais.]
Passo 3
Agora, suponha que uma das matrizes, digamos
, seja definida positiva e simétrica. Então existe
invertível simétrico tal que
Considere
Como
e
são simétricas, temos
logo
é simétrica e tem valores próprios reais. Além disso, note que
Logo
é semelhante à matriz simétrica
e, portanto, compartilha com ela o mesmo espectro real.
Resposta
Exemplo de
e
simétricas cujo produto
tem valores próprios
.
Se uma das matrizes (por exemplo ) for definida positiva, então
é semelhante a uma matriz simétrica e seus valores próprios são todos reais.
Se uma das matrizes (por exemplo