P 13.6. Sendo A e B matrizes reais simétricas, mostre através de um exemplo que os valores próprios da matriz A B podem não ser reais. E se uma das matrizes consideradas for definida positiva?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, mostrar por meio de um exemplo que, mesmo sendo A e B matrizes reais simétricas, a matriz produto AB pode ter valores próprios não reais. Em seguida, investigar o que muda se uma das matrizes for definida positiva. Vamos usar conceitos de matriz simétrica, valor próprio e similaridade de matrizes.

Passo 2

Escolhemos duas matrizes 2times 2 simétricas cujos produto não será simétrico nem terá espectro real. Definimos
A = 0 & 1[6pt]1 & 0, B = 1 & 0[6pt]0 & -1
Ambas são simétricas. Calculamos
AB = 0 & 1[3pt]1 & 0 1 & 0[3pt]0 & -1 = 0cdot 1 + 1cdot 0 & 0cdot 0 + 1cdot (-1)[3pt] 1cdot 1 + 0cdot 0 & 1cdot 0 + 0cdot (-1) = 0 & -1[3pt]1 & 0
O polinômio característico de AB é
chiAB(lambda) = detl(AB - lambda Ir) = det-lambda & -1[3pt]1 & -lambda = lambda^2 + 1
Portanto os valores próprios vêm de lambda^2 + 1 = 0, ou seja
lambda = pm i,
que não são reais.]

Passo 3

Agora, suponha que uma das matrizes, digamos B, seja definida positiva e simétrica. Então existe B^1/2 invertível simétrico tal que
B = B^1/2,B^1/2
Considere
C = B^1/2,A,B^1/2
Como A e B^1/2 são simétricas, temos
C^T = (B^1/2 A B^1/2)^T = B^1/2 A^T B^1/2 = C,
logo C é simétrica e tem valores próprios reais. Além disso, note que
AB = B^-1/2,C,B^1/2,
Logo AB é semelhante à matriz simétrica C e, portanto, compartilha com ela o mesmo espectro real.

Resposta

Exemplo de A e B simétricas cujo produto AB tem valores próprios pm i.
Se uma das matrizes (por exemplo B) for definida positiva, então AB é semelhante a uma matriz simétrica e seus valores próprios são todos reais.

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