Suponha que lambda é um autovalor da matriz A. Mostre que f(lambda) é um autovalor da matriz f(A), onde f é um polinômio em C.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz Ain Mn(C) e um escalar lambda tais que lambda é autovalor de A. Isto significa que existe um vetor não-nulo vinC^n com
A,v = lambda,v
Queremos mostrar que, para um polinômio f(x)=a0 + a1 x + cdots + am x^m em C[x], o escalar f(lambda) é autovalor de f(A).

Passo 2

Lembrando que aplicamos polinômio em matriz substituindo x por A, temos
f(A) = a0 I + a1 A + a2 A^2 + cdots + am A^m,
onde I é a identidade de ordem n.

Passo 3

Agora aplicamos f(A) ao vetor próprio v. Usamos a propriedade A^k v = lambda^k v, que decorre de A v = lambda v por indução:
A^k v = Al(A^k-1vr) = Al(lambda^k-1vr) = lambda^k-1A v = lambda^k v

Passo 4

Logo,
f(A),v = l(a0 I + a1 A + cdots + am A^mr)v = a0 v + a1 (A v) + cdots + am (A^m v) = a0 v + a1 lambda v + cdots + am lambda^m v
Fatorando v, obtemos
f(A),v = l(a0 + a1lambda + cdots + amlambda^mr),v = f(lambda),v

Passo 5

Como vneq0 e f(A),v = f(lambda),v, isso mostra que f(lambda) é autovalor de f(A), tendo v como vetor próprio correspondente.

Resposta

Mostramos que, se A,v=lambda,v, então f(A),v=f(lambda),v. Portanto f(lambda) é autovalor de f(A).

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