Suponha que
é um autovalor da matriz
. Mostre que
é um autovalor da matriz
, onde
é um polinômio em
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz
e um escalar
tais que
é autovalor de
. Isto significa que existe um vetor não-nulo
com
Queremos mostrar que, para um polinômio
em
, o escalar
é autovalor de
.
Passo 2
Lembrando que aplicamos polinômio em matriz substituindo
por
, temos
onde
é a identidade de ordem
.
Passo 3
Agora aplicamos
ao vetor próprio
. Usamos a propriedade
, que decorre de
por indução:
Passo 4
Logo,
Fatorando
, obtemos
Passo 5
Como
e
, isso mostra que
é autovalor de
, tendo
como vetor próprio correspondente.
Resposta
Mostramos que, se
, então
. Portanto
é autovalor de
.