R.248 Ao estabelecer ondas estacionárias numa corda de comprimento 2 m , formam-se três nós (além dos nós correspondentes às extremidades fixas). Sendo 0,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} a velocidade de propagação das ondas nessa corda, determine:
a) a distância entre dois ventres consecutivos;
b) a distância entre um ventre e um nó consecutivos;
c) o comprimento de onda das ondas que se propagam na corda;
d) a frequência das ondas que se propagam.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede quatro quantidades.
Dados fornecidos:
L = 2\\ \mathrm{m}
v = 0,5\\ \mathrm{m/s}
Há “três nós (além dos nós correspondentes às extremidades fixas)”, ou seja, existem 3 nós interiores além dos dois nós das extremidades.
Perguntas:
(a) Determinar a distância entre dois ventres (antinós) consecutivos.
(b) Determinar a distância entre um ventre e um nó consecutivos.
(c) Determinar o comprimento de onda \lambda das ondas que geram essa onda estacionária.
(d) Determinar a frequência f das ondas que se propagam.

Passo 2

Conceitos e relações que vamos usar (explicadas passo a passo, sem pular etapas):
  • Em uma corda com extremidades fixas, a onda estacionária forma nós (pontos de amplitude zero) e ventres (pontos de amplitude máxima).
  • A distância entre dois nós consecutivos é igual a \dfrac{\lambda}{2}. Isso porque a forma da onda estacionária repete-se a cada meia-onda: entre dois nós consecutivos existe meia oscilação espacial, ou seja, \lambda/2.
  • De modo análogo, a distância entre dois ventres consecutivos também é \dfrac{\lambda}{2}, porque ventres estão deslocados meio comprimento de onda um do outro.
  • A distância entre um nó e o ventre adjacente é \dfrac{\lambda}{4} (metade de \lambda/2).
  • Se houver n ventres (antinós) distribuídos ao longo do comprimento L entre as extremidades fixas, então o comprimento total é igual a n vezes a distância de um ventre ao seguinte, isto é:
L = n\cdot\frac{\lambda}{2}.
Aqui n é um número inteiro positivo que conta quantos ventres aparecem na corda (por exemplo, no modo fundamental n=1).
  • Relação velocidade-comprimento de onda-frequência para uma onda:
v = \lambda f,
onde v é a velocidade de propagação, \lambda o comprimento de onda e f a frequência.
Vou usar essas relações para determinar n, \lambda, as distâncias pedidas e f.

Passo 3

Determinar n (número de ventres) a partir do número de nós interiores.
  • O número total de nós numa corda fixa é igual ao número de ventres mais 1 (porque nós aparecem nas duas extremidades e entre cada par de ventres existe um nó adicional). Outra forma mais direta: se há n ventres, o número de nós interiores (excluindo as extremidades) é n-1.
  • No enunciado foi dado que o número de nós interiores é 3. Assim:
n-1 = 3 \quad\Rightarrow\quad n = 3+1 = 4.
Portanto existem n=4 ventres ao longo da corda.

Passo 4

Calcular o comprimento de onda \lambda usando \;L = n\cdot\frac{\lambda}{2}\;.
  • Isolando \lambda:
\lambda = \frac{2L}{n}.
  • Substituindo L=2\\ \mathrm{m} e n=4:
\lambda = \frac{2\cdot 2\\ \mathrm{m}}{4} = \frac{4\\ \mathrm{m}}{4} = 1\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a distância entre dois ventres consecutivos.
  • Como explicado, essa distância é \dfrac{\lambda}{2}. Usando \lambda = 1\\ \mathrm{m}:
\text{distância entre ventres}=\frac{\lambda}{2}=\frac{1\\ \mathrm{m}}{2}=0,5\\ \mathrm{m}.â

Passo 6

Calcular a distância entre um ventre e um nó consecutivos.
  • Essa distância é \dfrac{\lambda}{4}. Usando \lambda = 1\\ \mathrm{m}:
\text{distância ventre–nó}=\frac{\lambda}{4}=\frac{1\\ \mathrm{m}}{4}=0,25\\ \mathrm{m}.âó

Passo 7

Calcular a frequência f usando v=\lambda f.
  • Isolando f:
f=\frac{v}{\lambda}.
  • Substituindo v=0,5\\ \mathrm{m/s} e \lambda=1\\ \mathrm{m}:
f=\frac{0,5\\ \mathrm{m/s}}{1\\ \mathrm{m}}=0,5\\ \mathrm{Hz}.

Passo 8

Checagem rápida (autoverificação): com \lambda=1\\ \mathrm{m} e n=4 temos L = n\cdot\lambda/2 =4\cdot(1/2)=2\\ \mathrm{m}, que bate com o comprimento dado; portanto os cálculos estão consistentes.

Resposta

(a) 0,5\\ \mathrm{m}
(b) 0,25\\ \mathrm{m}
(c) 1\\ \mathrm{m}
(d) 0,5\\ \mathrm{Hz}

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