R.248 Ao estabelecer ondas estacionárias numa corda de comprimento 2 m , formam-se três nós (além dos nós correspondentes às extremidades fixas). Sendo
a velocidade de propagação das ondas nessa corda, determine:
a) a distância entre dois ventres consecutivos;
b) a distância entre um ventre e um nó consecutivos;
c) o comprimento de onda das ondas que se propagam na corda;
d) a frequência das ondas que se propagam.
a) a distância entre dois ventres consecutivos;
b) a distância entre um ventre e um nó consecutivos;
c) o comprimento de onda das ondas que se propagam na corda;
d) a frequência das ondas que se propagam.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede quatro quantidades.
Dados fornecidos:
Há “três nós (além dos nós correspondentes às extremidades fixas)”, ou seja, existem
nós interiores além dos dois nós das extremidades.
Perguntas:
(a) Determinar a distância entre dois ventres (antinós) consecutivos.
(b) Determinar a distância entre um ventre e um nó consecutivos.
(c) Determinar o comprimento de onda das ondas que geram essa onda estacionária.
(d) Determinar a frequência das ondas que se propagam.
(a) Determinar a distância entre dois ventres (antinós) consecutivos.
(b) Determinar a distância entre um ventre e um nó consecutivos.
(c) Determinar o comprimento de onda
(d) Determinar a frequência
Passo 2
Conceitos e relações que vamos usar (explicadas passo a passo, sem pular etapas):
- Em uma corda com extremidades fixas, a onda estacionária forma nós (pontos de amplitude zero) e ventres (pontos de amplitude máxima).
- A distância entre dois nós consecutivos é igual a
. Isso porque a forma da onda estacionária repete-se a cada meia-onda: entre dois nós consecutivos existe meia oscilação espacial, ou seja, . - De modo análogo, a distância entre dois ventres consecutivos também é
, porque ventres estão deslocados meio comprimento de onda um do outro. - A distância entre um nó e o ventre adjacente é
(metade de ). - Se houver
ventres (antinós) distribuídos ao longo do comprimento entre as extremidades fixas, então o comprimento total é igual a vezes a distância de um ventre ao seguinte, isto é:
Aqui
é um número inteiro positivo que conta quantos ventres aparecem na corda (por exemplo, no modo fundamental
).
- Relação velocidade-comprimento de onda-frequência para uma onda:
onde
é a velocidade de propagação,
o comprimento de onda e
a frequência.
Vou usar essas relações para determinar
,
, as distâncias pedidas e
.
Passo 3
Determinar
(número de ventres) a partir do número de nós interiores.
- O número total de nós numa corda fixa é igual ao número de ventres mais 1 (porque nós aparecem nas duas extremidades e entre cada par de ventres existe um nó adicional). Outra forma mais direta: se há
ventres, o número de nós interiores (excluindo as extremidades) é . - No enunciado foi dado que o número de nós interiores é
. Assim:
Portanto existem
ventres ao longo da corda.
Passo 4
Calcular o comprimento de onda
usando
.
- Isolando
:
- Substituindo
e :
Passo 5
Calcular a distância entre dois ventres consecutivos.
- Como explicado, essa distância é
. Usando :
Passo 6
Calcular a distância entre um ventre e um nó consecutivos.
- Essa distância é
. Usando :
Passo 7
Calcular a frequência
usando
.
- Isolando
:
- Substituindo
e :
Passo 8
Checagem rápida (autoverificação): com
e
temos
, que bate com o comprimento dado; portanto os cálculos estão consistentes.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)