P 6.3. Para cada um dos seguintes conjuntos F de funções reais, seja G o conjunto formado pelas derivadas de todas as ordens dessas funções (incluindo ordem 0, ou seja as próprias funções de F ). Diga qual a dimensão de L(G) e, no caso de essa dimensão ser finita, indique, justificando, uma base do espaço.
F=cos (t),(t in R)

Passo 1

O enunciado nos dá F=cos(t) e define
G=,f^(n)(t)mid fin F, n=0,1,2,dots.
O objetivo é determinar dim L(G), onde L(G) é o espaço vetorial gerado por G, e, se for finita, exibir uma base.

Passo 2

Vamos listar as derivadas sucessivas de cos(t):
f^(0)(t)&=cos(t), f^(1)(t)&=-sin(t), f^(2)(t)&=-cos(t), f^(3)(t)&=sin(t), f^(4)(t)&=cos(t),
e daí em diante o ciclo se repete de período 4.

Passo 3

Logo
o que implica

Passo 4

Para ver que cos(t),sin(t) é linearmente independente, suponha
acos(t)+bsin(t)equiv0forall t
Em t=0 vem acdot1+bcdot0=0implies a=0.
Derivando e avaliando em t=0 -asin(0)+bcos(0)=b=0.
Assim a=b=0 e a dimensão é 2.

Resposta

dim L(G)=2.
Uma base é cos(t),sin(t).

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