P 6.3. Para cada um dos seguintes conjuntos
de funções reais, seja
o conjunto formado pelas derivadas de todas as ordens dessas funções (incluindo ordem 0, ou seja as próprias funções de
). Diga qual a dimensão de
e, no caso de essa dimensão ser finita, indique, justificando, uma base do espaço.
Passo 1
O enunciado nos dá
e define
.
O objetivo é determinar , onde
é o espaço vetorial gerado por
, e, se for finita, exibir uma base.
O objetivo é determinar
Passo 2
Vamos listar as derivadas sucessivas de
:
e daí em diante o ciclo se repete de período 4.
Passo 3
Logo
o que implica
Passo 4
Para ver que
é linearmente independente, suponha
Em
vem
.
Derivando e avaliando em dá
.
Assim e a dimensão é 2.
Derivando e avaliando em
Assim
Resposta
Uma base é