P 6.3. Para cada um dos seguintes conjuntos
de funções reais, seja
o conjunto formado pelas derivadas de todas as ordens dessas funções (incluindo ordem 0, ou seja as próprias funções de
). Diga qual a dimensão de
e, no caso de essa dimensão ser finita, indique, justificando, uma base do espaço.
Passo 1
O enunciado dá
e define como o conjunto de todas as derivadas de todas as ordens de cada função de
, incluindo a derivada de ordem zero (as próprias funções).
Precisamos achar a dimensão de , o espaço linear gerado por
, e, se essa dimensão for finita, indicar uma base.
e define
Precisamos achar a dimensão de
Passo 2
Calculemos as derivadas de cada função em
:
– Para :
– Para
– Para
:
Logo, todo elemento de
é ou
ou
. Portanto
Passo 3
Como
é múltiplo escalar de
, o espaço gerado por
é
Para ver que
é LI, suponha
Multiplicando por
vem
Logo são independentes e geram
.
Resposta
A dimensão de
é
, e uma base é
.