P 6.3. Para cada um dos seguintes conjuntos F de funções reais, seja G o conjunto formado pelas derivadas de todas as ordens dessas funções (incluindo ordem 0, ou seja as próprias funções de F ). Diga qual a dimensão de L(G) e, no caso de essa dimensão ser finita, indique, justificando, uma base do espaço.
F=e^-t, e^t,(t in R)

Passo 1

O enunciado dá
F=e^-t,e^t
e define G como o conjunto de todas as derivadas de todas as ordens de cada função de F, incluindo a derivada de ordem zero (as próprias funções).
Precisamos achar a dimensão de L(G), o espaço linear gerado por G, e, se essa dimensão for finita, indicar uma base.

Passo 2

Calculemos as derivadas de cada função em F:
– Para e^t:
d^ndt^ne^t=e^tpara todo n>=0
– Para e^-t:
d^ndt^ne^-t=(-1)^ne^-tpara todo n>=0
Logo, todo elemento de G é ou e^t ou pm e^-t. Portanto
Gsubseteqe^t,e^-t

Passo 3

Como pm e^-t é múltiplo escalar de e^-t, o espaço gerado por G é
L(G)=spane^t,e^-t
Para ver que e^t,e^-t é LI, suponha
c1e^t+c2e^-t=0forall t
Multiplicando por e^t vem
c1e^2t+c2=0forall timplies c1=0 e c2=0
Logo são independentes e geram L(G).

Resposta

A dimensão de L(G) é 2, e uma base é e^t,e^-t.

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