P 1) Calcule o tempo necessário para reduzir o número de mols de A a 1% de seu valor inicial em um reator batelada de volume constante para a mesma reação e dados do Exemplo 1-2.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o tempo necessário para reduzir o número de mols de A a 1% do valor inicial num reator batelada de volume constante, usando “a mesma reação e dados do Exemplo 1-2”. As informações relevantes que o enunciado dá (diretamente) são:
  • Objetivo: reduzir os mols de A a 1% do valor inicial, isto é, atingir n_A = 0{,}01\,n_{A0}.
  • Condição do reator: batelada (batch) e volume constante.
Informações que deveriam vir do “Exemplo 1-2” e que são necessárias para calcular numericamente o tempo:
  • a ordem da reação (por exemplo ordem zero, primeira ordem, segunda ordem, ou ordem n);
  • a lei de velocidade (por exemplo r_A = -k C_A^n);
  • o valor da constante de velocidade k (com suas unidades);
  • o valor inicial de mols n_{A0} e/ou o volume do reator V (para obter a concentração inicial C_{A0}=n_{A0}/V), caso a constante k esteja em unidades dependentes de concentração.
Conclusão do passo: não há dados numéricos do Exemplo 1-2 fornecidos aqui; portanto não é possível fornecer um valor numérico final sem esses dados. A seguir eu apresento de forma didática as fórmulas e o procedimento para calcular o tempo conforme a ordem da reação, para que você aplique assim que tiver k e C_{A0} (ou n_{A0} e V).

Passo 2

Entendendo o modelo e a relação entre mols e concentração (a aula rápida).
  • Em reator batelada com volume constante V, a concentração de A é C_A(t)=\dfrac{n_A(t)}{V}.
  • Como queremos reduzir os mols para 1\%, isso significa que a concentração final desejada é C_A = 0{,}01\,C_{A0}, porque a razão n_A/n_{A0} é igual à razão C_A/C_{A0}.
  • A lei de velocidade usual é escrita em termos de concentração: \displaystyle r_A = -\dfrac{dC_A}{dt} = k\,C_A^{\,m}, onde m é a ordem da reação (uso m para não confundir com outros índices). Aqui k é a constante de velocidade, com unidades que dependem de m.
Procedimento geral: integrar a equação diferencial da velocidade desde t=0 (onde C_A=C_{A0}) até o tempo t em que C_A=0{,}01\,C_{A0}.

Passo 3

Integração e fórmulas para ordens comuns — derive passo a passo.
Caso geral: reação de ordem m com m\neq 1.
Começamos com
-\dfrac{dC_A}{dt} = k\,C_A^{\,m}.
Rearranjando:
\dfrac{dC_A}{C_A^{\,m}} = -k\,dt.
Integrando de C_{A0} a C_A e de 0 a t:
\int_{C_{A0}}^{C_A} C_A^{-m}\,dC_A = -k\int_{0}^{t} dt.
A primitiva de C_A^{-m} é \dfrac{C_A^{\,1-m}}{1-m} (válido se m\neq 1), então
\left.\dfrac{C_A^{\,1-m}}{1-m}\right|_{C_{A0}}^{C_A} = -k t.
Logo
\dfrac{C_A^{\,1-m}-C_{A0}^{\,1-m}}{1-m} = -k t.
Rearranjando para t:
t = \dfrac{1}{k(1-m)}\bigl(C_A^{\,1-m}-C_{A0}^{\,1-m}\bigr).
Agora substituímos C_A=0{,}01\,C_{A0}. É conveniente fatorar C_{A0}^{\,1-m}:
t = \dfrac{C_{A0}^{\,1-m}}{k(1-m)}\Bigl((0{,}01)^{\,1-m}-1\Bigr).
Essa é a fórmula geral para m\neq 1.
Caso especial m=1 (primeira ordem):
  • A equação é -\dfrac{dC_A}{dt}=kC_A.
  • Separando e integrando:
\int_{C_{A0}}^{C_A}\dfrac{dC_A}{C_A} = -k\int_0^t dt \quad\Rightarrow\quad \ln\!\dfrac{C_A}{C_{A0}} = -k t.
Portanto, para C_A=0{,}01\,C_{A0},
t = \dfrac{1}{k}\ln\!\dfrac{C_{A0}}{C_A} = \dfrac{1}{k}\ln(100).
Observação didática: \ln(100)=\ln(10^2)=2\ln 10\approx 4{,}60517.
Agora especializando para ordens zero e dois (fórmulas simples e muito usadas):
Ordem zero ( m=0):
  • -\dfrac{dC_A}{dt} = k implica C_A = C_{A0} - k t.
  • Para C_A=0{,}01\,C_{A0},
t = \dfrac{C_{A0}-0{,}01\,C_{A0}}{k} = \dfrac{0{,}99\,C_{A0}}{k}.
Ordem dois ( m=2):
  • A integração dá \dfrac{1}{C_A}-\dfrac{1}{C_{A0}} = k t.
  • Para C_A=0{,}01\,C_{A0} temos
t = \dfrac{1}{k}\Bigl(\dfrac{1}{0{,}01\,C_{A0}}-\dfrac{1}{C_{A0}}\Bigr) = \dfrac{1}{k}\cdot\dfrac{100-1}{C_{A0}} = \dfrac{99}{k\,C_{A0}}.
Resumo das fórmulas principais (todas em função de k e C_{A0}):
  • Ordem zero: t = \dfrac{0{,}99\,C_{A0}}{k}.
  • Ordem um: t = \dfrac{\ln(100)}{k}.
  • Ordem dois: t = \dfrac{99}{k\,C_{A0}}.
  • Ordem m\neq 1: t = \dfrac{C_{A0}^{\,1-m}}{k(1-m)}\Bigl((0{,}01)^{\,1-m}-1\Bigr).

Passo 4

Como aplicar isso na prática (passo a passo para a prova).
  1. A partir do Exemplo 1-2 (ou do enunciado), identifique a ordem da reação m e o valor de k. Verifique as unidades de k — elas devem ser compatíveis com as fórmulas (por exemplo, para primeira ordem k tem unidades de tempo^{-1}).
  2. Obtenha a concentração inicial C_{A0}. Se o Exemplo der n_{A0} (mols) e o volume V, calcule C_{A0} = n_{A0}/V. Se o Exemplo já der C_{A0}, use-o diretamente.
  3. Use a fórmula correspondente ao m identificado (as fórmulas do Passo 3) e substitua k e C_{A0} para calcular t.
  4. Verifique unidades e sentido físico (tempo positivo). Para ordens m>1 ou m<1, cheque o sinal em (0{,}01)^{1-m}-1 para garantir t>0 — a expressão derivada já fornece t>0 para as reações físicas típicas quando usada corretamente.
Exemplo numérico ilustrativo (apenas para mostrar uso): suponha que a reação seja primeira ordem com k=0{,}2\\ \text{s}^{-1}. Então
t = \dfrac{\ln(100)}{0{,}2} \approx \dfrac{4{,}60517}{0{,}2} \approx 23{,}03\\ \text{s}.
Isto é só um exemplo: não use este número como resposta do seu exercício a menos que o Exemplo 1-2 realmente tenha m=1 e k=0{,}2\\ \text{s}^{-1}.

Passo 5

O que exatamente falta do Exemplo 1-2 para eu calcular o valor numérico agora:
  • a ordem da reação m;
  • o valor numérico da constante k (com unidades);
  • e/ou o valor de C_{A0} (ou n_{A0} e V).
Sem esses dados não há como fornecer um tempo numérico; se você colar aqui os dados do Exemplo 1-2 (ordem e k e C_{A0} ou n_{A0} e V), eu aplico imediatamente a fórmula correta e te entrego o tempo com as contas detalhadas.

Resposta

Não é possível calcular numericamente: faltam os dados do Exemplo 1-2 (ordem da reação e constante de velocidade k, e/ou C_{A0} ou n_{A0} e V). Em função de k e C_{A0}, as fórmulas são:
\text{Ordem zero:}\quad t = \dfrac{0{,}99\,C_{A0}}{k}.
\text{Ordem um:}\quad t = \dfrac{\ln(100)}{k}.
\text{Ordem dois:}\quad t = \dfrac{99}{k\,C_{A0}}.
\text{Ordem }m\neq 1:\quad t = \dfrac{C_{A0}^{\,1-m}}{k(1-m)}\Bigl((0{,}01)^{\,1-m}-1\Bigr).

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