P 1) Calcule o tempo necessário para reduzir o número de mols de A a 1% de seu valor inicial em um reator batelada de volume constante para a mesma reação e dados do Exemplo 1-2.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o tempo necessário para reduzir o número de mols de A a 1% do valor inicial num reator batelada de volume constante, usando “a mesma reação e dados do Exemplo 1-2”. As informações relevantes que o enunciado dá (diretamente) são:
Objetivo: reduzir os mols de A a 1% do valor inicial, isto é, atingir n_A = 0{,}01\,n_{A0}.
Condição do reator: batelada (batch) e volume constante.
Informações que deveriam vir do “Exemplo 1-2” e que são necessárias para calcular numericamente o tempo:
a ordem da reação (por exemplo ordem zero, primeira ordem, segunda ordem, ou ordem n);
a lei de velocidade (por exemplo r_A = -k C_A^n);
o valor da constante de velocidade k (com suas unidades);
o valor inicial de mols n_{A0} e/ou o volume do reator V (para obter a concentração inicial C_{A0}=n_{A0}/V), caso a constante k esteja em unidades dependentes de concentração.
Conclusão do passo: não há dados numéricos do Exemplo 1-2 fornecidos aqui; portanto não é possível fornecer um valor numérico final sem esses dados. A seguir eu apresento de forma didática as fórmulas e o procedimento para calcular o tempo conforme a ordem da reação, para que você aplique assim que tiver k e C_{A0} (ou n_{A0} e V).
Passo 2
Entendendo o modelo e a relação entre mols e concentração (a aula rápida).
Em reator batelada com volume constante V, a concentração de A é C_A(t)=\dfrac{n_A(t)}{V}.
Como queremos reduzir os mols para 1\%, isso significa que a concentração final desejada é C_A = 0{,}01\,C_{A0}, porque a razão n_A/n_{A0} é igual à razão C_A/C_{A0}.
A lei de velocidade usual é escrita em termos de concentração: \displaystyle r_A = -\dfrac{dC_A}{dt} = k\,C_A^{\,m}, onde m é a ordem da reação (uso m para não confundir com outros índices). Aqui k é a constante de velocidade, com unidades que dependem de m.
Procedimento geral: integrar a equação diferencial da velocidade desde t=0 (onde C_A=C_{A0}) até o tempo t em que C_A=0{,}01\,C_{A0}.
Passo 3
Integração e fórmulas para ordens comuns — derive passo a passo.
Agora especializando para ordens zero e dois (fórmulas simples e muito usadas):
Ordem zero (m=0):
-\dfrac{dC_A}{dt} = k implica C_A = C_{A0} - k t.
Para C_A=0{,}01\,C_{A0},
t = \dfrac{C_{A0}-0{,}01\,C_{A0}}{k} = \dfrac{0{,}99\,C_{A0}}{k}.
Ordem dois (m=2):
A integração dá \dfrac{1}{C_A}-\dfrac{1}{C_{A0}} = k t.
Para C_A=0{,}01\,C_{A0} temos
t = \dfrac{1}{k}\Bigl(\dfrac{1}{0{,}01\,C_{A0}}-\dfrac{1}{C_{A0}}\Bigr) = \dfrac{1}{k}\cdot\dfrac{100-1}{C_{A0}} = \dfrac{99}{k\,C_{A0}}.
Resumo das fórmulas principais (todas em função de k e C_{A0}):
Ordem zero: t = \dfrac{0{,}99\,C_{A0}}{k}.
Ordem um: t = \dfrac{\ln(100)}{k}.
Ordem dois: t = \dfrac{99}{k\,C_{A0}}.
Ordem m\neq 1: t = \dfrac{C_{A0}^{\,1-m}}{k(1-m)}\Bigl((0{,}01)^{\,1-m}-1\Bigr).
Passo 4
Como aplicar isso na prática (passo a passo para a prova).
A partir do Exemplo 1-2 (ou do enunciado), identifique a ordem da reação m e o valor de k. Verifique as unidades de k — elas devem ser compatíveis com as fórmulas (por exemplo, para primeira ordem k tem unidades de tempo^{-1}).
Obtenha a concentração inicial C_{A0}. Se o Exemplo der n_{A0} (mols) e o volume V, calcule C_{A0} = n_{A0}/V. Se o Exemplo já der C_{A0}, use-o diretamente.
Use a fórmula correspondente ao m identificado (as fórmulas do Passo 3) e substitua k e C_{A0} para calcular t.
Verifique unidades e sentido físico (tempo positivo). Para ordens m>1 ou m<1, cheque o sinal em (0{,}01)^{1-m}-1 para garantir t>0 — a expressão derivada já fornece t>0 para as reações físicas típicas quando usada corretamente.
Exemplo numérico ilustrativo (apenas para mostrar uso): suponha que a reação seja primeira ordem com k=0{,}2\\ \text{s}^{-1}. Então
t = \dfrac{\ln(100)}{0{,}2} \approx \dfrac{4{,}60517}{0{,}2} \approx 23{,}03\\ \text{s}.
Isto é só um exemplo: não use este número como resposta do seu exercício a menos que o Exemplo 1-2 realmente tenha m=1 e k=0{,}2\\ \text{s}^{-1}.
Passo 5
O que exatamente falta do Exemplo 1-2 para eu calcular o valor numérico agora:
a ordem da reação m;
o valor numérico da constante k (com unidades);
e/ou o valor de C_{A0} (ou n_{A0} e V).
Sem esses dados não há como fornecer um tempo numérico; se você colar aqui os dados do Exemplo 1-2 (ordem e k e C_{A0} ou n_{A0} e V), eu aplico imediatamente a fórmula correta e te entrego o tempo com as contas detalhadas.
Resposta
Não é possível calcular numericamente: faltam os dados do Exemplo 1-2 (ordem da reação e constante de velocidade k, e/ou C_{A0} ou n_{A0} e V). Em função de k e C_{A0}, as fórmulas são:
\text{Ordem zero:}\quad t = \dfrac{0{,}99\,C_{A0}}{k}.
\text{Ordem um:}\quad t = \dfrac{\ln(100)}{k}.
\text{Ordem dois:}\quad t = \dfrac{99}{k\,C_{A0}}.
\text{Ordem }m\neq 1:\quad t = \dfrac{C_{A0}^{\,1-m}}{k(1-m)}\Bigl((0{,}01)^{\,1-m}-1\Bigr).