Considere o espaço amostral (Omega, F, P) com Omega=N, F=P(Omega)( partes de Omega) e P(n)=1n(n+1), para todo n. Para cada n, considere o evento An=n, n+1, n+2, ldots. Mostre que:
sumn=1^infty P(An) diverge;

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um espaço amostral com Ω = ℕ, e a probabilidade de cada ponto é
P(n) = 1n(n+1),
Para cada n, o evento
An = n, n+1, n+2, dots
é o “que sobra” a partir de n. A questão pede pra mostrar que
sumn=1^infty P(An)
é infinita, ou seja, diverge.
Conteúdo: probabilidade em espaço discreto e séries infinitas (soma de probabilidades e teste de divergência). Vamos usar soma telescópica e saber que a série harmônica diverge.

Passo 2

Primeiro, calcula P(A_n):
P(An) ;=; sumk=n^infty P(k) ;=; sumk=n^infty 1k(k+1)
Aí vem o truque da soma telescópica:
1k(k+1) = 1k - 1k+1
Logo, para um limite N grande,
sumk=n^N1k(k+1) = sumk=n^Nl(1k - 1k+1r) = l(1n-1n+1r) + l(1n+1-1n+2r) +cdots + l(1N-1N+1r)
Tudo cancela em “tela de zíper” e sobra
sumk=n^N1k(k+1) = 1n - 1N+1
Fazendo P(An) = 1n , o termo , então

Passo 3

Agora a série que interessa é
sumn=1^infty P(An) = sumn=1^infty 1n
Essa é a famosa série harmônica, e a teoria de séries infinitas diz que ela diverge (os somatórios parciais crescem sem limite, mesmo que bem devagar).

Resposta

Portanto,
sumn=1^infty P(An) = sumn=1^infty 1n
é divergente.

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