Considere o espaço amostral
partes de
e
, para todo
. Para cada
, considere o evento
. Mostre que:
diverge;
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um espaço amostral com Ω = ℕ, e a probabilidade de cada ponto é
Para cada n, o evento
é o “que sobra” a partir de n. A questão pede pra mostrar que
é infinita, ou seja, diverge.
Conteúdo: probabilidade em espaço discreto e séries infinitas (soma de probabilidades e teste de divergência). Vamos usar soma telescópica e saber que a série harmônica diverge.
Passo 2
Primeiro, calcula P(A_n):
Aí vem o truque da soma telescópica:
Logo, para um limite N grande,
Tudo cancela em “tela de zíper” e sobra
Fazendo
, o termo
, então
Passo 3
Agora a série que interessa é
Essa é a famosa série harmônica, e a teoria de séries infinitas diz que ela diverge (os somatórios parciais crescem sem limite, mesmo que bem devagar).
Resposta
Portanto,
é divergente.