& A=(x, y) / 0 <= x <= 1 / 2,0 <= y <= 1 e & B=(x, y) / 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1 / 4
Mostre que A e B são independentes.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos dois eventos no quadrado unitário [0,1]times[0,1] com distribuição uniforme:
A = {(x,y)\mid 0\le x\le 1/2,;0\le y\le1}
B = {(x,y)\mid 0\le x\le1,;0\le y\le1/4}
Conteúdo: probabilidade geométrica (distribuição uniforme no quadrado) e definição de independência de eventos.
O que precisamos:
  1. Saber que, nessa distribuição, P(evento) = área da região correspondente.
  2. Lembrar que A e B são independentes se e somente se
P(Acap B);=;P(A),P(B)

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as áreas (probabilidades):
  1. Área de A:
    A ocupa um retângulo de base P(A)=área(A)=12times1=12 e altura P(B)=área(B)=1times14=14 , logo
P(Acap B)=área(Acap B)=12times14=18 á
  1. Área de B:
    B ocupa um retângulo de base e altura , então
á
  1. Interseção :
    A interseção é o retângulo onde e . Sua área é
á

Passo 3

Agora vemos se bate a fórmula de independência:
P(A),P(B) =12times14 =18 e P(Acap B)=18
Como
P(Acap B)=P(A),P(B),
então A e B satisfazem a condição de independência.

Resposta

Sim, A e B são independentes porque e , ou seja, vale a relação de independência.

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