Mostre que
e
são independentes.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos dois eventos no quadrado unitário
com distribuição uniforme:
A = {(x,y)\mid 0\le x\le 1/2,;0\le y\le1}
B = {(x,y)\mid 0\le x\le1,;0\le y\le1/4}
B = {(x,y)\mid 0\le x\le1,;0\le y\le1/4}
Conteúdo: probabilidade geométrica (distribuição uniforme no quadrado) e definição de independência de eventos.
O que precisamos:
O que precisamos:
- Saber que, nessa distribuição, P(evento) = área da região correspondente.
- Lembrar que A e B são independentes se e somente se
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as áreas (probabilidades):
- Área de A:
A ocupa um retângulo de basee altura , logo
- Área de B:
B ocupa um retângulo de basee altura , então
- Interseção
:
A interseção é o retângulo ondee . Sua área é
Passo 3
Agora vemos se bate a fórmula de independência:
Como
então A e B satisfazem a condição de independência.
Resposta
Sim, A e B são independentes porque
e
, ou seja, vale a relação de independência.