(2.0 p) Dada a função f(x)=l2 x-2, x<-1, A x+B,-1 <= x <= 1, 5 x+7, x>1
Determine os valores de A e B de maneira que f seja contínua em R.

Passo 1

O enunciado pede para achar A e B de modo que a função por partes abaixo seja contínua em ℝ. O conteúdo é continuidade de funções definidas por trechos, e vamos precisar usar a condição de que, em cada ponto de quebra (x=–1 e x=1), o limite à esquerda, o valor da função e o limite à direita coincidam.

Passo 2

Escrevendo a função em bloco para visualizar melhor:
f(x)= 2x-2, & x< -1, Ax+B, & -1<= x<= 1, 5x+7, & x>1
Para ser contínua em x=–1, exigimos lim_{x→(–1)⁻}f(x)=f(–1).
O limite pela esquerda é
2(1)-2=-2-2=-4
E o valor f(–1) é
A·(1)+B=-A+B
Logo, temos a equação
-A+B=-4

Passo 3

Para continuidade em x=1, exigimos f(1)=lim_{x→1⁺}f(x).
O limite pela direita é
5·1+7=12
E o valor f(1) é
A·1+B=A+B
Logo, a segunda equação é
A+B=12

Passo 4

Agora resolvemos o sistema
-B + A = ? A + B = 12
Na verdade, reescrevendo corretamente a primeira:
-B + A =?
Mas sabemos que -A + B = -4 é equivalente a B - A = -4.
Somando as duas equações:
(B-A)+(A+B)= -4+12 implies 2B=8 implies B=4
Substituindo em A+B=12:
A+4=12 implies A=8

Resposta

A=8 e B=4

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