Mostre usando diretamente a definição de limite que
ímpar.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que
para
ímpar. Vamos usar a definição de limite em
e explorar que a função
com
ímpar é estritamente crescente e tem raiz ímpar bem definida para números negativos.
Passo 2
De acordo com a definição, dizer que
significa: para todo
existe
tal que se
então
.
Passo 3
Como
é ímpar, a função
é estritamente crescente em
. Logo, para quaisquer
temos
.
Passo 4
Dado um
, considere
. Como
é negativo e
ímpar,
existe e é negativo, e satisfaz
. Então, se
, pela monotonicidade
.
Passo 5
Isso mostra exatamente que para todo
existe
tal que
implica
, concluindo a prova pela definição de limite.