(1.0 p) Mostre usando diretamente a definição de limite que lim x -infty x^n=-infty, n in N ímpar.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que limxto -infty x^n = -infty para n ímpar. Vamos usar a definição de limite em -infty e explorar que a função f(x)=x^n com n ímpar é estritamente crescente e tem raiz ímpar bem definida para números negativos.

Passo 2

De acordo com a definição, dizer que limxto -infty x^n = -infty significa: para todo M<0 existe NinR tal que se x então x^n.

Passo 3

Como n é ímpar, a função f(x)=x^n é estritamente crescente em R. Logo, para quaisquer x1 temos x1^n < x2^n.

Passo 4

Dado um M<0, considere N = M^1/n. Como M é negativo e n ímpar, M^1/n existe e é negativo, e satisfaz N^n = M. Então, se x, pela monotonicidade x^n < N^n = M.

Passo 5

Isso mostra exatamente que para todo M<0 existe N=M^1/n tal que x implica x^n, concluindo a prova pela definição de limite.

Resposta

limxto -infty x^n = -infty.

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