Mostre que a equação
não é exata. Determine um fator integrante que dependa somente de
que a torna exata. Depois resolva a equação e verifique que a equação encontrada contem a solução da equação diferencial.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial
não é exata, encontrar um fator integrante que dependa só de
que a torne exata, e então resolver a equação resultante.
Passo 2
Temos
e
. Para ser exata precisamos de
Mas
e como
para função geral, a equação NÃO é exata.
Passo 3
Para achar um fator integrante
só em função de
, usamos que
que de fato depende só de
. Então
integramos:
escolhendo a constante zero, obtemos
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Agora verificamos exatidão:
são iguais, logo a equação é exata.
Passo 5
Para resolver, encontramos uma função potencial
tal que
Integrando em
:
Em seguida impondo
vemos que
logo
Portanto
é a solução implícita.
Passo 6
A equação
realmente contém as soluções da equação original, pois diferenciar essa identidade leva de volta ao diferencial exato que obtivemos.
Resposta
A solução geral é implicitamente dada por