Mostre que a equação y d x+(2 x y-e^-2 y) d y=0 não é exata. Determine um fator integrante que dependa somente de y que a torna exata. Depois resolva a equação e verifique que a equação encontrada contem a solução da equação diferencial.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial
y,dx + (2xy - e^-2y),dy = 0
não é exata, encontrar um fator integrante que dependa só de y que a torne exata, e então resolver a equação resultante.

Passo 2

Temos M(x,y)=y e N(x,y)=2xy - e^-2y. Para ser exata precisamos de
partial Mpartial y = partial Npartial x
Mas
partial Mpartial y=1, partial Npartial x=2y,
e como 1neq 2y para função geral, a equação NÃO é exata.

Passo 3

Para achar um fator integrante mu(y) só em função de y, usamos que
Nx - MyM \nprecisa depender apenas de y. Calculando,
Nx - MyM = 2y - 1y = 2 - 1y,
que de fato depende só de y. Então
dlnmudy = 2 - 1y
integramos:
lnmu = 2y - ln|y| + C
escolhendo a constante zero, obtemos
mu(y)=e^2yy

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(y):
tilde M = mu M = e^2y, tilde N = mu N = 2x e^2y - 1y
Agora verificamos exatidão:
partialtilde Mpartial y=2e^2y, partialtilde Npartial x=2e^2y,
são iguais, logo a equação é exata.

Passo 5

Para resolver, encontramos uma função potencial Phi(x,y) tal que
partialPhipartial x=tilde M=e^2y
Integrando em x:
Phi(x,y)=x e^2y + h(y)
Em seguida impondo
partialPhipartial y=2x e^2y + h'(y)=tilde N=2x e^2y - 1y
vemos que
h'(y)=-1y,
logo
h(y)=-ln|y|+K
Portanto
Phi(x,y)=x e^2y-ln|y|=C
é a solução implícita.

Passo 6

A equação x e^2y-ln|y|=C realmente contém as soluções da equação original, pois diferenciar essa identidade leva de volta ao diferencial exato que obtivemos.

Resposta

A solução geral é implicitamente dada por
x,e^2y - ln|y| = C

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