P 5.2. Decida se os seguintes conjuntos, munidos das operações indicadas sobre os corpos indicados, possuem ou não a estrutura de espaço linear.
O quádruplo (R,+, times, Q), onde +e times são as operações usuais da aritmética dos reais.

Passo 1

O enunciado pergunta se o quádruplo (R,+, times, Q) é um espaço vetorial sobre o corpo Q.
O que precisamos fazer é verificar as duas partes da definição de espaço vetorial:
  1. R com a soma usual deve ser um grupo abeliano.
  2. A multiplicação por escalares em Q (usando a multiplicação usual em R) deve satisfazer os axiomas de compatibilidade com a soma de vetores, soma de escalares, produto de escalares e elemento neutro do corpo.

Passo 2

Verificamos primeiro que (R,+) é de fato um grupo abeliano:
  • Fechamento: para quaisquer x,yinR, x+yinR.
  • Associatividade: (x+y)+z = x+(y+z) para todos x,y,zinR.
  • Elemento neutro: existe 0inR tal que x+0=x para todo x.
  • Inverso: para cada xinR existe -xinR com x+(-x)=0.
  • Comutatividade: x+y=y+x.

Passo 3

Agora verificamos os axiomas de multiplicação por escalares em Q. Para p,qinQ e x,yinR, usando a multiplicação usual em R:
  1. Fechamento: pcdot xinR pois é produto de racional por real.
  2. Distributividade sobre soma de vetores:
pcdot(x+y) = p,x + p,y
  1. Distributividade sobre soma de escalares:
(p+q)cdot x = p,x + q,x
  1. Compatibilidade com produto de escalares:
pcdot(qcdot x) = (p,q),x
  1. Elemento neutro do corpo:
1cdot x = x,
onde 1 é o elemento neutro em Q.
Todos esses itens decorrem diretamente das propriedades usuais da multiplicação em R restrita a escalares em Q.

Passo 4

Como (R,+) é grupo abeliano e a multiplicação por escalares em Q satisfaz os cinco axiomas acima, concluímos que (R,+, times, Q) é um espaço vetorial sobre Q.

Resposta

Sim, (R,+, times, Q) possui a estrutura de espaço vetorial sobre o corpo Q.

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