P 5.2. Decida se os seguintes conjuntos, munidos das operações indicadas sobre os corpos indicados, possuem ou não a estrutura de espaço linear.
O quádruplo
, onde
são as operações usuais da aritmética dos reais.
O quádruplo
Passo 1
O enunciado pergunta se o quádruplo
é um espaço vetorial sobre o corpo
.
O que precisamos fazer é verificar as duas partes da definição de espaço vetorial:
O que precisamos fazer é verificar as duas partes da definição de espaço vetorial:
-
com a soma usual deve ser um grupo abeliano. - A multiplicação por escalares em
(usando a multiplicação usual em ) deve satisfazer os axiomas de compatibilidade com a soma de vetores, soma de escalares, produto de escalares e elemento neutro do corpo.
Passo 2
Verificamos primeiro que
é de fato um grupo abeliano:
- Fechamento: para quaisquer
, . - Associatividade:
para todos . - Elemento neutro: existe
tal que para todo . - Inverso: para cada
existe com . - Comutatividade:
.
Passo 3
Agora verificamos os axiomas de multiplicação por escalares em
. Para
e
, usando a multiplicação usual em
:
- Fechamento:
pois é produto de racional por real. - Distributividade sobre soma de vetores:
- Distributividade sobre soma de escalares:
- Compatibilidade com produto de escalares:
- Elemento neutro do corpo:
onde
é o elemento neutro em
.
Todos esses itens decorrem diretamente das propriedades usuais da multiplicação em
restrita a escalares em
.
Passo 4
Como
é grupo abeliano e a multiplicação por escalares em
satisfaz os cinco axiomas acima, concluímos que
é um espaço vetorial sobre
.
Resposta
Sim,
possui a estrutura de espaço vetorial sobre o corpo
.