P 5.2. Decida se os seguintes conjuntos, munidos das operações indicadas sobre os corpos indicados, possuem ou não a estrutura de espaço linear.
O quádruplo
, onde + é a adição usual de números reais e
é a multiplicação escalar definida por
.
.
O quádruplo
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
, com a adição usual de reais e a multiplicação escalar definida por
é um espaço vetorial sobre o corpo
. Para isso, basta checar se as propriedades de espaço vetorial – em especial a distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares e em relação à soma de vetores, a associatividade da multiplicação escalar e a existência de elemento neutro escalar – são satisfeitas. Se qualquer uma falhar, não temos espaço vetorial.
Passo 2
Testamos a distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares. Em um espaço vetorial deveria valer
Aqui, o lado esquerdo é
enquanto o lado direito é
Como em geral
(exceto em casos especiais, por exemplo
), a igualdade não se mantém para todos
. Portanto essa propriedade falha.
Resposta
Não é espaço linear, pois a distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares não é satisfeita.