P 5.2. Decida se os seguintes conjuntos, munidos das operações indicadas sobre os corpos indicados, possuem ou não a estrutura de espaço linear.
O quádruplo (R,+, otimes, R), onde + é a adição usual de números reais e otimes é a multiplicação escalar definida por alpha otimes x=alpha^2. x.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto R, com a adição usual de reais e a multiplicação escalar definida por
alpha otimes x = alpha^2 , x,
é um espaço vetorial sobre o corpo R. Para isso, basta checar se as propriedades de espaço vetorial – em especial a distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares e em relação à soma de vetores, a associatividade da multiplicação escalar e a existência de elemento neutro escalar – são satisfeitas. Se qualquer uma falhar, não temos espaço vetorial.

Passo 2

Testamos a distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares. Em um espaço vetorial deveria valer
(alpha + beta)otimes x = alphaotimes x ;+; betaotimes x
Aqui, o lado esquerdo é
(alpha + beta)otimes x = (alpha + beta)^2,x = (alpha^2 + 2alphabeta + beta^2),x,
enquanto o lado direito é
alphaotimes x + betaotimes x = alpha^2,x + beta^2,x = (alpha^2 + beta^2),x
Como em geral alpha^2 + 2alphabeta + beta^2 neq alpha^2 + beta^2 (exceto em casos especiais, por exemplo alphabeta=0), a igualdade não se mantém para todos alpha,beta,x. Portanto essa propriedade falha.

Resposta

Não é espaço linear, pois a distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares não é satisfeita.

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