P 5.2. Decida se os seguintes conjuntos, munidos das operações indicadas sobre os corpos indicados, possuem ou não a estrutura de espaço linear.
O quádruplo
, onde
são as operações usuais da aritmética dos reais.
O quádruplo
Passo 1
Estamos analisando o quádruplo
, isto é, o conjunto dos racionais com soma e produto usuais e escalares vindo de
. Queremos decidir se isso forma um espaço vetorial sobre o corpo
. Para isso basta ver se todas as axiomas de espaço vetorial (em especial a fechamento sob multiplicação por escalar) são satisfeitos.
Passo 2
Um ponto crítico é a fechamento: devemos ter
Se existir algum
e
tais que
, já perdemos a estrutura de espaço vetorial.
Passo 3
Escolhemos por exemplo
e
. Então
e sabemos que
. Logo a multiplicação por escalar não fecha em
.
Resposta
O quádruplo
não é um espaço vetorial sobre
.