P 5.2. Decida se os seguintes conjuntos, munidos das operações indicadas sobre os corpos indicados, possuem ou não a estrutura de espaço linear.
O quádruplo (Q,+, times, R), onde +e times são as operações usuais da aritmética dos reais.

Passo 1

Estamos analisando o quádruplo (Q,+,times,R), isto é, o conjunto dos racionais com soma e produto usuais e escalares vindo de R. Queremos decidir se isso forma um espaço vetorial sobre o corpo R. Para isso basta ver se todas as axiomas de espaço vetorial (em especial a fechamento sob multiplicação por escalar) são satisfeitos.

Passo 2

Um ponto crítico é a fechamento: devemos ter
forall alphainR,;forall vinQ: alpha,vinQ
Se existir algum alphainR e vinQ tais que alpha vnotinQ, já perdemos a estrutura de espaço vetorial.

Passo 3

Escolhemos por exemplo alpha=raiz2inR e v=1inQ. Então
alpha,v = raiz2cdot 1 = raiz2,
e sabemos que raiz2notinQ. Logo a multiplicação por escalar não fecha em Q.

Resposta

O quádruplo (Q,+,times,R) não é um espaço vetorial sobre R.

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