P 5.2. Decida se os seguintes conjuntos, munidos das operações indicadas sobre os corpos indicados, possuem ou não a estrutura de espaço linear.
O quádruplo
, onde
e
são as operações da aritmética modular módulo 7.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o quádruplo
é um espaço vetorial sobre o corpo .
Conteúdo: teoria de espaço vetorial (grupo abeliano ação de corpo).
Vamos verificar os principais axiomas:
.
deve ser grupo abeliano.
. A multiplicação escalar
deve satisfazer os axiomas de espaço vetorial, em particular
a) para todo
.
é um espaço vetorial sobre o corpo
Conteúdo: teoria de espaço vetorial (grupo abeliano
Vamos verificar os principais axiomas:
a)
Passo 2
Verificação de
ser grupo abeliano:
- Fechamento: se
, então é o resto de em divisão por , que pertence a . - Associatividade e comutatividade decorrem da adição usual em
seguida de redução módulo . - Elemento neutro:
, pois . - Inverso de
é , que também está em .
Logo,é de fato um grupo abeliano.
Passo 3
Verificação do axioma de elemento neutro escalar:
Em um espaço vetorial, para todo deve valer
Em um espaço vetorial, para todo
onde
é o elemento unidade do corpo. Aqui,
e
Se
, por exemplo, então
Logo, o axioma
falha para
.
Resposta
O quádruplo
não é um espaço vetorial, pois falha o axioma
.