P 5.2. Decida se os seguintes conjuntos, munidos das operações indicadas sobre os corpos indicados, possuem ou não a estrutura de espaço linear.
^1 O quádruplo (Z, oplus7, otimes7, Z7), onde oplus7 e otimes7 são as operações da aritmética modular módulo 7.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o quádruplo
l(Z,oplus7,otimes7,Z7r)
é um espaço vetorial sobre o corpo Z7.
Conteúdo: teoria de espaço vetorial (grupo abeliano + ação de corpo).
Vamos verificar os principais axiomas:
1. l(Z,oplus7r) deve ser grupo abeliano.
2. A multiplicação escalar otimes7:Z7timesZtoZ deve satisfazer os axiomas de espaço vetorial, em particular
a) 1otimes7v = v para todo vinZ.

Passo 2

Verificação de l(Z,oplus7r) ser grupo abeliano:
  • Fechamento: se a,binZ, então aoplus7b é o resto de a+b em divisão por 7, que pertence a 0,1,dots,6subsetZ.
  • Associatividade e comutatividade decorrem da adição usual em Z seguida de redução módulo 7.
  • Elemento neutro: 0, pois aoplus70equiv apmod7.
  • Inverso de a é (-a)bmod7, que também está em 0,dots,6subsetZ.
    Logo, l(Z,oplus7r) é de fato um grupo abeliano.

Passo 3

Verificação do axioma de elemento neutro escalar:
Em um espaço vetorial, para todo vin V deve valer
1otimes v = v,
onde 1 é o elemento unidade do corpo. Aqui, 1inZ7 e
1otimes7v = (1cdot v)bmod7 = vbmod7
Se v=8, por exemplo, então
1otimes78 = 8bmod7 = 1 neq 8
Logo, o axioma 1otimes7v=v falha para vnotin0,1,dots,6.

Resposta

O quádruplo l(Z,oplus7,otimes7,Z7r) não é um espaço vetorial, pois falha o axioma 1otimes v=v.

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