(3 p) Descreva a estrutura de bandas de energia de um semicondutor dopado tipo
. O que causa a condutividade de um semicondutor dopado tipo
?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Descrever a estrutura de bandas de energia de um semicondutor dopado tipo
. - Explicar o que causa a condutividade de um semicondutor dopado tipo
.
Informações/condições implícitas que vamos usar:
- Um semicondutor tem banda de valência e banda de condução separadas por uma lacuna de energia
. - "Dopagem tipo
" significa que foram introduzidos átomos doadores (doadores) que fornecem elétrons extra. - Trabalharei com temperatura finita (por exemplo, temperatura ambiente), de modo que excitações térmicas são relevantes.
Passo 2
Primeiro, recordar como é a estrutura de bandas de um semicondutor intrínseco (não dopado), em termos simples e sem desenho:
- Há duas bandas relevantes:
- banda de valência, representada por energia máxima
, - banda de condução, representada por energia mínima
.
- banda de valência, representada por energia máxima
- A diferença entre as duas é a folga de energia:
- No semicondutor intrínseco, a densidade de elétrons na banda de condução é
e a densidade de lacunas na banda de valência é , e vale a lei da ação de massas:
onde
é a concentração intrínseca (dependente de
e de propriedades do material).
Explicando termos (para você entender bem):
-
é número de elétrons livres por unidade de volume na banda de condução. -
é número de lacunas (ausência de elétrons) por unidade de volume na banda de valência. -
depende exponencialmente de , por isso materiais com pequeno têm maior.
Passo 3
Agora o que acontece ao dopar com um doador (tipo
) — visão qualitativa da estrutura de energia:
- Um átomo doador (ex.: fósforo em silício) introduz um nível de energia discreto
localizado ligeiramente abaixo da borda da banda de condução :
- Esse nível contém um elétron fraco ligado ao doador; a energia de ionização do doador é
(tipicamente algumas dezenas de meV em semicondutores comuns). - Diagramaticamente: existe a banda de valência, a lacuna
, a banda de condução, e muito perto de aparecem níveis DONOR ocupados (antes da ionização).
Por que isso é importante? Porque o elétron do nível
precisa de pouca energia térmica para saltar até
e virar um elétron livre na banda de condução.
Passo 4
Mecanismo físico que gera os portadores livres (condutividade):
- A ionização térmica do doador é o processo chave: um elétron do nível
recebe energia térmica e é promovido para a banda de condução, deixando o doador carregado positivamente ( ). - A probabilidade de ocupação de estados segue a estatística de Fermi–Dirac, mas para níveis bem abaixo/assimptoticamente perto da banda e em temperaturas usuais pode-se usar aproximação de Boltzmann.
- A concentração de elétrons na banda de condução é relacionada à posição do nível de Fermi
por:
onde:
-
é a densidade efetiva de estados na banda de condução (função de massa efetiva e ), -
é a constante de Boltzmann, -
é a temperatura em kelvin, -
e são energias como definido. - Para dopagem moderada/forte com doadores, em regime extrínseco e temperatura não muito baixa, a maioria dos doadores fica ionizada e:
onde
é a concentração de doadores ionizados (por unidade de volume). Em outras palavras: o número de elétrons livres aumenta aproximadamente na mesma ordem que a concentração de dopantes doadores.
Exemplo numérico (para sentir a escala):
- Em silício,
típico , enquanto a é . Logo muitos doadores ficam ionizados à temperatura ambiente — gerando muitos elétrons livres.
Passo 5
Como a presença dos doadores altera o nível químico (Fermi) e a distribuição de portadores:
- Ao adicionar elétrons livres, o nível de Fermi
desloca-se em direção à banda de condução. Em um gráfico de energia isso significa que fica mais próximo de do que no semicondutor intrínseco. - Usando a equação acima e invertendo:
- Para um semicondutor fortemente dopado tipo
( ), pode até ficar dentro da banda de condução (casos degenerados); para doping moderado, permanece entre e a posição intrínseca, mas mais próximo de .
Explicando em palavras: deslocar
para cima significa que estados de alta energia (perto de
) ficam mais ocupados por elétrons, aumentando a condutividade.
Passo 6
Fórmula da condutividade e por que os elétrons dominam em tipo
:
- A condutividade elétrica
de um semicondutor é dada por:
onde:
-
é a carga elementar ( ), -
é a mobilidade dos elétrons, -
é a mobilidade das lacunas, -
e são as densidades de elétrons e lacunas, respectivamente. - Em semicondutor tipo
bem dopado, (porque e grande implica pequeno). Assim:
- Ou seja, a condutividade aumenta porque a concentração
de elétrons livres é muito maior que no caso intrínseco.
Importante sobre mobilidade:
- A mobilidade
diminui quando aumentam impurezas ionizadas (mais espalhamento), por isso existe um trade-off: mais dopantes aumentam mas reduzem . A condutividade resultante depende dos dois efeitos.
Passo 7
Condições de neutralidade de carga e relação com concentrações:
- Neutralidade elétrica impõe:
onde
é concentração de aceitadores ionizados (se existirem) e
de doadores ionizados.
- Para semicondutor apenas com doadores (
) e em regime extrínseco:
- Isso mostra explicitamente por que
cresce aproximadamente com a dopagem doadora e por que fica muito pequeno.
Passo 8
Resumo final (com linguagem prática — o que desenhar e o que escrever na prova):
- Desenhe duas bandas: VB com topo em
, CB com base em , e marque a lacuna . - Acrescente um nível de doador
ligeiramente abaixo de . Marque que esse nível está praticamente cheio (eletrão ligado) antes da ionização. - Indique por setas que elétrons são facilmente termicamente excitados de
para , gerando e elétrons livres. - Escreva que a condutividade é dada por
e, para tipo , . - Escreva também que
(para ) e que o nível de Fermi desloca-se para mais perto de .
Resposta
Um semicondutor tipo
tem a estrutura de bandas com banda de valência (topo em
) e banda de condução (base em
), e a dopagem por átomos doadores introduz níveis de energia deadores
localizados pouco abaixo de
; esses doadores são facilmente ionizados termicamente, aumentando fortemente a densidade de elétrons na banda de condução e deslocando o nível de Fermi
para mais perto de
.
A condutividade de um semicondutor tipo é causada principalmente pelos elétrons livres provenientes da ionização dos doadores; matematicamente
e, no regime
-tipo extrínseco,
com
.
A condutividade de um semicondutor tipo