(3 p) Descreva a estrutura de bandas de energia de um semicondutor dopado tipo n. O que causa a condutividade de um semicondutor dopado tipo n ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Descrever a estrutura de bandas de energia de um semicondutor dopado tipo n.
  • Explicar o que causa a condutividade de um semicondutor dopado tipo n.
Informações/condições implícitas que vamos usar:
  • Um semicondutor tem banda de valência e banda de condução separadas por uma lacuna de energia \,E_g.
  • "Dopagem tipo n" significa que foram introduzidos átomos doadores (doadores) que fornecem elétrons extra.
  • Trabalharei com temperatura finita (por exemplo, temperatura ambiente), de modo que excitações térmicas são relevantes.

Passo 2

Primeiro, recordar como é a estrutura de bandas de um semicondutor intrínseco (não dopado), em termos simples e sem desenho:
  • Há duas bandas relevantes:
    • banda de valência, representada por energia máxima \,E_V,
    • banda de condução, representada por energia mínima \,E_C.
  • A diferença entre as duas é a folga de energia:
E_g = E_C - E_V.
  • No semicondutor intrínseco, a densidade de elétrons na banda de condução é \,n e a densidade de lacunas na banda de valência é \,p, e vale a lei da ação de massas:
n\,p = n_i^2,
onde \,n_i é a concentração intrínseca (dependente de T e de propriedades do material).
Explicando termos (para você entender bem):
  • \,n é número de elétrons livres por unidade de volume na banda de condução.
  • \,p é número de lacunas (ausência de elétrons) por unidade de volume na banda de valência.
  • \,n_i depende exponencialmente de -E_g/(2k_B T), por isso materiais com E_g pequeno têm n_i maior.

Passo 3

Agora o que acontece ao dopar com um doador (tipo n) — visão qualitativa da estrutura de energia:
  • Um átomo doador (ex.: fósforo em silício) introduz um nível de energia discreto \,E_D localizado ligeiramente abaixo da borda da banda de condução \,E_C:
E_D \lesssim E_C.
  • Esse nível contém um elétron fraco ligado ao doador; a energia de ionização do doador é \,E_C - E_D (tipicamente algumas dezenas de meV em semicondutores comuns).
  • Diagramaticamente: existe a banda de valência, a lacuna E_g, a banda de condução, e muito perto de E_C aparecem níveis DONOR ocupados (antes da ionização).
Por que isso é importante? Porque o elétron do nível \,E_D precisa de pouca energia térmica para saltar até \,E_C e virar um elétron livre na banda de condução.

Passo 4

Mecanismo físico que gera os portadores livres (condutividade):
  • A ionização térmica do doador é o processo chave: um elétron do nível \,E_D recebe energia térmica k_B T e é promovido para a banda de condução, deixando o doador carregado positivamente ( D^+).
  • A probabilidade de ocupação de estados segue a estatística de Fermi–Dirac, mas para níveis bem abaixo/assimptoticamente perto da banda e em temperaturas usuais pode-se usar aproximação de Boltzmann.
  • A concentração de elétrons na banda de condução é relacionada à posição do nível de Fermi E_F por:
n = N_C \exp\!\left(-\dfrac{E_C - E_F}{k_B T}\right),
onde:
  • \,N_C é a densidade efetiva de estados na banda de condução (função de massa efetiva e T),
  • k_B é a constante de Boltzmann,
  • T é a temperatura em kelvin,
  • E_C e E_F são energias como definido.
  • Para dopagem moderada/forte com doadores, em regime extrínseco e temperatura não muito baixa, a maioria dos doadores fica ionizada e:
n \approx N_D,
onde \,N_D é a concentração de doadores ionizados (por unidade de volume). Em outras palavras: o número de elétrons livres aumenta aproximadamente na mesma ordem que a concentração de dopantes doadores.
Exemplo numérico (para sentir a escala):
  • Em silício, \,E_C - E_D típico \sim 45\\ \text{meV}, enquanto k_B T a 300\\ \text{K} é \sim 26\\ \text{meV}. Logo muitos doadores ficam ionizados à temperatura ambiente — gerando muitos elétrons livres.

Passo 5

Como a presença dos doadores altera o nível químico (Fermi) e a distribuição de portadores:
  • Ao adicionar elétrons livres, o nível de Fermi E_F desloca-se em direção à banda de condução. Em um gráfico de energia isso significa que E_F fica mais próximo de E_C do que no semicondutor intrínseco.
  • Usando a equação acima e invertendo:
E_C - E_F = k_B T \ln\!\left(\dfrac{N_C}{n}\right).
  • Para um semicondutor fortemente dopado tipo n ( n \gg n_i), E_F pode até ficar dentro da banda de condução (casos degenerados); para doping moderado, E_F permanece entre E_C e a posição intrínseca, mas mais próximo de E_C.
Explicando em palavras: deslocar E_F para cima significa que estados de alta energia (perto de E_C) ficam mais ocupados por elétrons, aumentando a condutividade.

Passo 6

Fórmula da condutividade e por que os elétrons dominam em tipo n:
  • A condutividade elétrica \sigma de um semicondutor é dada por:
\sigma = q\,(n\,\mu_n + p\,\mu_p),
onde:
  • q é a carga elementar ( 1{,}6\times10^{-19}\\ \text{C}),
  • \mu_n é a mobilidade dos elétrons,
  • \mu_p é a mobilidade das lacunas,
  • n e p são as densidades de elétrons e lacunas, respectivamente.
  • Em semicondutor tipo n bem dopado, n \gg p (porque np=n_i^2 e n grande implica p pequeno). Assim:
\sigma \approx q\,n\,\mu_n.
  • Ou seja, a condutividade aumenta porque a concentração n de elétrons livres é muito maior que no caso intrínseco.
Importante sobre mobilidade:
  • A mobilidade \mu_n diminui quando aumentam impurezas ionizadas (mais espalhamento), por isso existe um trade-off: mais dopantes aumentam n mas reduzem \mu_n. A condutividade resultante depende dos dois efeitos.

Passo 7

Condições de neutralidade de carga e relação com concentrações:
  • Neutralidade elétrica impõe:
n + N_A^- = p + N_D^+,
onde N_A^- é concentração de aceitadores ionizados (se existirem) e N_D^+ de doadores ionizados.
  • Para semicondutor apenas com doadores ( N_A=0) e em regime extrínseco:
n \approx N_D^+ \quad\text{e}\quad p \approx \dfrac{n_i^2}{n}.
  • Isso mostra explicitamente por que \,n cresce aproximadamente com a dopagem doadora e por que p fica muito pequeno.

Passo 8

Resumo final (com linguagem prática — o que desenhar e o que escrever na prova):
  • Desenhe duas bandas: VB com topo em E_V, CB com base em E_C, e marque a lacuna E_g = E_C - E_V.
  • Acrescente um nível de doador E_D ligeiramente abaixo de E_C. Marque que esse nível está praticamente cheio (eletrão ligado) antes da ionização.
  • Indique por setas que elétrons são facilmente termicamente excitados de E_D para E_C, gerando D^+ e elétrons livres.
  • Escreva que a condutividade é dada por \sigma = q(n\mu_n + p\mu_p) e, para tipo n, \sigma \approx q n \mu_n.
  • Escreva também que n \approx N_D (para N_D \gg n_i) e que o nível de Fermi E_F desloca-se para mais perto de E_C.

Resposta

Um semicondutor tipo n tem a estrutura de bandas com banda de valência (topo em E_V) e banda de condução (base em E_C), e a dopagem por átomos doadores introduz níveis de energia deadores E_D localizados pouco abaixo de E_C; esses doadores são facilmente ionizados termicamente, aumentando fortemente a densidade de elétrons na banda de condução e deslocando o nível de Fermi E_F para mais perto de E_C.
A condutividade de um semicondutor tipo n é causada principalmente pelos elétrons livres provenientes da ionização dos doadores; matematicamente \sigma = q(n\mu_n + p\mu_p) e, no regime n-tipo extrínseco, \sigma \approx q\,n\,\mu_n com n\approx N_D.

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