(3 p) Quando se solta um cubo de água no espaço, ele se tornará esférico sem mudar de volume. Quanta energia será liberada nesta deformação, em função do raio da esfera resultante r, e da tensão superficial de água no vácuo, \gamma ?

Passo 1

O enunciado dá o seguinte cenário e pede uma coisa clara. Dados/condições:
  • Um cubo de água é solto no espaço (ausência de gravidade e ar) e, sem perder volume, sua forma se transforma numa esfera.
  • O raio da esfera final é r.
  • A tensão superficial da água no vácuo (energia por unidade de área da superfície) é \gamma.
    Pergunta: qual a energia liberada nessa deformação, expressa em função de r e \gamma?
    Variáveis que vamos usar explicitamente: r = raio da esfera final; a = aresta do cubo inicial; \gamma = tensão superficial.

Passo 2

Conservação de volume: o volume do cubo é igual ao volume da esfera. Vou escrever isso e resolver para a aresta a do cubo em termos de r.
a^3 = \frac{4}{3}\pi r^3.
Para obter a isolado, tomo a raiz cúbica em ambos os lados:
a = \left(\frac{4}{3}\pi\right)^{1/3} r.
Explicação didática: isso vem do fato de que o volume do cubo é a^3 (porque volume do cubo = aresta × aresta × aresta) e o volume da esfera é \tfrac{4}{3}\pi r^3. Igualando e resolvendo para a obtemos a relação acima.

Passo 3

Calcular a área superficial inicial (do cubo). A área superficial de um cubo de aresta a é a soma das áreas das 6 faces quadradas, cada uma com área a^2. Logo:
A_{\text{cubo}} = 6a^2.
Agora substituo a em função de r (peguei a expressão de a do Passo 2):
A_{\text{cubo}} = 6\left(\left(\frac{4}{3}\pi\right)^{1/3} r\right)^{2} = 6\left(\frac{4}{3}\pi\right)^{2/3} r^{2}.
Passo a passo da álgebra: \bigl((\cdot)^{1/3} r\bigr)^2 = (\cdot)^{2/3} r^2.

Passo 4

Calcular a área superficial final (da esfera). A área de uma esfera de raio r é
A_{\text{esfera}} = 4\pi r^{2}.
Isso é uma fórmula padrão (área superficial = 4\pi r^2).

Passo 5

Entender a energia ligada à superfície e o sinal da energia liberada. A tensão superficial \gamma tem unidade de energia por área (ou força por comprimento, equivalentes), e a energia associada à superfície é
E_{\text{superfície}} = \gamma \times A.í
Quando a gota passa de cubo para esfera, a área superficial diminui (a esfera minimiza a área para um dado volume). Essa diminuição de energia superficial é liberada (por exemplo, em calor ou trabalho). Logo a energia liberada \Delta E é a diferença entre energia inicial e final:
\Delta E = \gamma\left(A_{\text{cubo}} - A_{\text{esfera}}\right).
Observação didática: se A_{\text{cubo}}>A_{\text{esfera}} então \Delta E>0, ou seja, energia é liberada. A esfera é a forma de área mínima a volume fixo, por isso essa diferença é positiva.

Passo 6

Substituir as áreas que já calculamos e simplificar para obter \Delta E em termos de \gamma e r.
\Delta E = \gamma\left(6\left(\frac{4}{3}\pi\right)^{2/3} r^{2} - 4\pi r^{2}\right).
Fatorando r^{2} e escrevendo de forma mais compacta:
\Delta E = \gamma\, r^{2}\left(6\left(\frac{4\pi}{3}\right)^{2/3} - 4\pi\right).

Passo 7

Interpretação e aproximação numérica (intuição). Se quiser um número para ver a ordem de grandeza, calcula-se o fator entre parênteses:
6\left(\frac{4\pi}{3}\right)^{2/3} - 4\pi \approx 3{,}02,
portanto numericamente
\Delta E \approx 3{,}02\,\gamma\,r^{2}.
Isso significa que a energia liberada escala como \gamma r^{2} (faz sentido físico: \gamma é energia por área e a diferença de área cresce como r^{2}).

Resposta

\displaystyle \Delta E=\gamma\,r^{2}\left(6\left(\frac{4\pi}{3}\right)^{2/3}-4\pi\right)

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