(3 p) Quando se solta um cubo de água no espaço, ele se tornará esférico sem mudar de volume. Quanta energia será liberada nesta deformação, em função do raio da esfera resultante
, e da tensão superficial de água no vácuo,
?
Passo 1
O enunciado dá o seguinte cenário e pede uma coisa clara. Dados/condições:
- Um cubo de água é solto no espaço (ausência de gravidade e ar) e, sem perder volume, sua forma se transforma numa esfera.
- O raio da esfera final é
. - A tensão superficial da água no vácuo (energia por unidade de área da superfície) é
.
Pergunta: qual a energia liberada nessa deformação, expressa em função dee ?
Variáveis que vamos usar explicitamente:= raio da esfera final; = aresta do cubo inicial; = tensão superficial.
Passo 2
Conservação de volume: o volume do cubo é igual ao volume da esfera. Vou escrever isso e resolver para a aresta
do cubo em termos de
.
Para obter
isolado, tomo a raiz cúbica em ambos os lados:
Explicação didática: isso vem do fato de que o volume do cubo é
(porque volume do cubo = aresta × aresta × aresta) e o volume da esfera é
. Igualando e resolvendo para
obtemos a relação acima.
Passo 3
Calcular a área superficial inicial (do cubo). A área superficial de um cubo de aresta
é a soma das áreas das 6 faces quadradas, cada uma com área
. Logo:
Agora substituo
em função de
(peguei a expressão de
do Passo 2):
Passo a passo da álgebra:
.
Passo 4
Calcular a área superficial final (da esfera). A área de uma esfera de raio
é
Isso é uma fórmula padrão (área superficial =
).
Passo 5
Entender a energia ligada à superfície e o sinal da energia liberada. A tensão superficial
tem unidade de energia por área (ou força por comprimento, equivalentes), e a energia associada à superfície é
Quando a gota passa de cubo para esfera, a área superficial diminui (a esfera minimiza a área para um dado volume). Essa diminuição de energia superficial é liberada (por exemplo, em calor ou trabalho). Logo a energia liberada
é a diferença entre energia inicial e final:
Observação didática: se
então
, ou seja, energia é liberada. A esfera é a forma de área mínima a volume fixo, por isso essa diferença é positiva.
Passo 6
Substituir as áreas que já calculamos e simplificar para obter
em termos de
e
.
Fatorando
e escrevendo de forma mais compacta:
Passo 7
Interpretação e aproximação numérica (intuição). Se quiser um número para ver a ordem de grandeza, calcula-se o fator entre parênteses:
portanto numericamente
Isso significa que a energia liberada escala como
(faz sentido físico:
é energia por área e a diferença de área cresce como
).