P 5.1. Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição e multiplicação por um número real).
Conjunto das matrizes
.
Conjunto das matrizes
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de todas as matrizes
com entradas em
, que chamamos de
, é um espaço linear sobre
. Lembrando que um espaço linear (ou vetorial) sobre
é um conjunto
equipado com duas operações — adição interna e multiplicação por escalar — que satisfazem oito axiomas (fechamento, existência de neutro, inverso, comutatividade, associatividade, duas propriedades distributivas e unidade escalar).
Passo 2
Verificamos o fechamento sob adição e multiplicação por escalar. Sejam
e
. Definimos
Como a soma e o produto de números reais são reais, cada entrada de
e de
é um real, logo
e
continuam em
.
Passo 3
Mostramos agora existência de elemento neutro e de inverso aditivo. A matriz zero
, definida por
satisfaz
. E para cada
temos a inversa aditiva
, definida por
, que satisfaz
.
Passo 4
As demais propriedades (associatividade e comutatividade da adição, distributividade da multiplicação escalar sobre soma de vetores e sobre soma de escalares, e existência de escalar identidade) são herdadas componente a componente das propriedades de
. Portanto, todos os axiomas de espaço linear são satisfeitos.
Resposta
O conjunto de todas as matrizes
com entradas em
, com as operações usuais, é de fato um espaço linear sobre
.