P 5.1. Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição e multiplicação por um número real).
Conjunto das matrizes m times n.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de todas as matrizes mtimes n com entradas em R, que chamamos de R^mtimes n, é um espaço linear sobre R. Lembrando que um espaço linear (ou vetorial) sobre R é um conjunto V equipado com duas operações — adição interna e multiplicação por escalar — que satisfazem oito axiomas (fechamento, existência de neutro, inverso, comutatividade, associatividade, duas propriedades distributivas e unidade escalar).

Passo 2

Verificamos o fechamento sob adição e multiplicação por escalar. Sejam A,BinR^mtimes n e lambdainR. Definimos
(A+B)ij=Aij+Bij,
(lambda A)ij=lambda,Aij
Como a soma e o produto de números reais são reais, cada entrada de A+B e de lambda A é um real, logo A+B e lambda A continuam em R^mtimes n.

Passo 3

Mostramos agora existência de elemento neutro e de inverso aditivo. A matriz zero O, definida por
Oij=0para todo i,j,
satisfaz A+O=A. E para cada A temos a inversa aditiva -A, definida por (-A)ij=-Aij, que satisfaz A+(-A)=O.

Passo 4

As demais propriedades (associatividade e comutatividade da adição, distributividade da multiplicação escalar sobre soma de vetores e sobre soma de escalares, e existência de escalar identidade) são herdadas componente a componente das propriedades de R. Portanto, todos os axiomas de espaço linear são satisfeitos.

Resposta

O conjunto de todas as matrizes mtimes n com entradas em R, com as operações usuais, é de fato um espaço linear sobre R.

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