P 5.1. Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição e multiplicação por um número real).
Conjunto das matrizes n times n triangulares inferiores.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
L = Ain Mntimes n(R) mid aij=0 para i<j
das matrizes ntimes n triangulares inferiores é um espaço linear (isto é, um subespaço de Mntimes n(R)). Para isso, vamos checar as três condições de subespaço vetorial: presença do vetor zero, fechamento sob adição e fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos a presença do vetor zero. A matriz zero O satisfaz oij=0 para todo par (i,j), em particular para i<j. Logo OinL.

Passo 3

Checamos o fechamento sob adição. Sejam A,BinL. Então para i<j temos
aij=0 e bij=0,
portanto
(A+B)ij=aij+bij=0+0=0,
o que mostra A+BinL.

Passo 4

Checamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja lambdainR e AinL. Para i<j vale
(lambda A)ij=lambda,aij=lambdacdot 0 = 0,
logo lambda AinL.

Resposta

O conjunto das matrizes ntimes n triangulares inferiores é um subespaço de Mntimes n(R) e, portanto, um espaço linear.

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