P 5.1. Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição e multiplicação por um número real).
Conjunto das matrizes
triangulares inferiores.
Conjunto das matrizes
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
das matrizes
triangulares inferiores é um espaço linear (isto é, um subespaço de
). Para isso, vamos checar as três condições de subespaço vetorial: presença do vetor zero, fechamento sob adição e fechamento sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos a presença do vetor zero. A matriz zero
satisfaz
para todo par
, em particular para
. Logo
.
Passo 3
Checamos o fechamento sob adição. Sejam
. Então para
temos
portanto
o que mostra
.
Passo 4
Checamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Para
vale
logo
.
Resposta
O conjunto das matrizes
triangulares inferiores é um subespaço de
e, portanto, um espaço linear.