Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo.
a) Se T: P2(x) P1(x) é a transformação linear definida por T(a x^2+b x+c)= (a-c) x+b+c, então p(x)=x^2+2 x+1 in N(T).
b) Se L é o operador linear sobre o R^2 definido por L(x, y)=(x-y, 2 x-2 y), então o vetor u=(2,3) não está na imagem de L.
c) Existem transformações lineares f: R^3 R^5 que são sobrejetoras.
d) Se uma transformação linear f: R^7 R^5 satisfaz dim Im(f)=2, então um conjunto L.I. em seu núcleo conterá no máximo 3 vetores.
e) Se A é uma matriz de ordem m times n, então A representa alguma transformação linear T: R^n R^m.

Passo 1

O enunciado pede para classificar cinco afirmações sobre transformações lineares como verdadeiras ou falsas. Vamos usar conceitos de núcleo, imagem, teorema do posto-nulidade e representação matricial de transformações lineares.

Passo 2

(a) Temos T(ax^2+bx+c)=(a-c)x+(b+c). Para p(x)=x^2+2x+1 vale a=1, b=2, c=1, então
T(p)=(1-1)x+(2+1)=0cdot x+3=3
Isso não é o polinômio zero, logo pnotin N(T). A afirmação “ p(x)in N(T)” é falsa.

Passo 3

(b) O operador LcolonR^2toR^2 é L(x,y)=(x-y,2x-2y). Note que o segundo componente é o dobro do primeiro, então Im(L)=(t,2t)mid tinR. Para u=(2,3) teríamos 3=2cdot2, o que não ocorre. Logo unotin Im(L) e a frase “ u não está na imagem” é verdadeira.

Passo 4

(c) Uma transformação fcolonR^3toR^5 tem posto <= 3 (dimensão do domínio), mas a sobrejeção exigiria posto =5. Não existe sobrejeção, então a afirmação “existem transformações sobrejetoras” é falsa.

Passo 5

(d) Para fcolonR^7toR^5 com dimIm(f)=2, o teorema do posto-nulidade dá dim N(f)=7-2=5. Logo o maior tamanho de um conjunto L.I. no núcleo é 5, não 3. A afirmação é falsa.

Passo 6

(e) Qualquer matriz A de ordem mtimes n define TcolonR^ntoR^m por T(x)=Ax. Logo toda matriz representa alguma transformação linear. A afirmação é verdadeira.

Resposta

a) F
b) V
c) F
d) F
e) V

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