Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo.
a) Se
é a transformação linear definida por
, então
.
b) Se
é o operador linear sobre o
definido por
, então o vetor
não está na imagem de
.
c) Existem transformações lineares
que são sobrejetoras.
d) Se uma transformação linear
satisfaz
, então um conjunto L.I. em seu núcleo conterá no máximo 3 vetores.
e) Se
é uma matriz de ordem
, então
representa alguma transformação linear
.
a) Se
b) Se
c) Existem transformações lineares
d) Se uma transformação linear
e) Se
Passo 1
O enunciado pede para classificar cinco afirmações sobre transformações lineares como verdadeiras ou falsas. Vamos usar conceitos de núcleo, imagem, teorema do posto-nulidade e representação matricial de transformações lineares.
Passo 2
(a) Temos
. Para
vale
,
,
, então
Isso não é o polinômio zero, logo
. A afirmação “
” é falsa.
Passo 3
(b) O operador
é
. Note que o segundo componente é o dobro do primeiro, então
. Para
teríamos
, o que não ocorre. Logo
e a frase “
não está na imagem” é verdadeira.
Passo 4
(c) Uma transformação
tem posto
(dimensão do domínio), mas a sobrejeção exigiria posto
. Não existe sobrejeção, então a afirmação “existem transformações sobrejetoras” é falsa.
Passo 5
(d) Para
com
, o teorema do posto-nulidade dá
. Logo o maior tamanho de um conjunto L.I. no núcleo é
, não
. A afirmação é falsa.
Passo 6
(e) Qualquer matriz
de ordem
define
por
. Logo toda matriz representa alguma transformação linear. A afirmação é verdadeira.
Resposta
a) F
b) V
c) F
d) F
e) V
b) V
c) F
d) F
e) V