Sejam alpha=(-1,1,0),(0,1,1),(1,0,0) e beta=(1,2),(1,-1) bases de R^3 e R^2, respectivamente. Se T: R^3 R^2 é a função linear que satisfaz [T]beta^alpha=[rrr1 & 2 & 1 -1 & 1 & 0], calcule [T(-1,1,0)]beta, T(-1,1,0) e T(x, y, z).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
;T:R^3toR^2
com matriz de transformação da base alpha de R^3 para a base beta de R^2 igual a
[T]beta^alpha = 1 & 2 & 1 -1 & 1 & 0 ,
onde
alpha=(-1,1,0),(0,1,1),(1,0,0)
e
beta=(1,2),(1,-1).
Precisamos calcular
  1. [T(-1,1,0)]beta,
  2. o vetor T(-1,1,0) em coordenadas canônicas,
  3. a fórmula de T(x,y,z) em coordenadas canônicas.

Passo 2

Primeiro achamos as coordenadas do vetor (-1,1,0) em relação à base alpha. Como alpha1=(-1,1,0), seu vetor de coordenadas é
[(-1,1,0)]alpha = (1,0,0)^T
Agora aplicamos a matriz [T]beta^alpha sobre esse vetor de coordenadas:
[T(-1,1,0)]beta = 1 & 2 & 1 -1 & 1 & 0 100 = 1-1

Passo 3

Sabendo que [T(-1,1,0)]beta=(1,-1)^T, escrevemos
T(-1,1,0) =1cdot(1,2)+(-1)cdot(1,-1) =(1-1,;2+1) =(0,3)

Passo 4

Para achar
Daí , .
Logo
  1. Aplicar a matriz :
  2. Finalmente, reconstruir em coordenadas canônicas usando : se , então . Aqui , , logo

Resposta

[T(-1,1,0)]beta = 1-1
T(-1,1,0) = (0,3)
T(x,y,z) = (,x+y+2z,;2x+5y-2z,)

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