P 5.1. Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição e multiplicação por um número real).
Conjunto das matrizes
triangulares inferiores não singulares.
Conjunto das matrizes
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Para isso vamos usar os axiomas de espaço vetorial, em particular a existência do vetor zero e a clausura sob soma.
Passo 2
Verificamos a existência do vetor zero: o candidato é a matriz nula
Embora
seja triangular inferior, tem
, logo não pertence a
. Como em todo espaço vetorial o zero deve pertencer, já falha esse axioma.
Passo 3
Em complemento, checamos clausura sob soma: escolhemos
Ambas são triangulares inferiores e
, então
. Mas
não está em
(é singular). Logo
não é fechado para soma.
Resposta
O conjunto das matrizes
triangulares inferiores não singulares não é um espaço vetorial.