P 5.1. Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição e multiplicação por um número real).
Conjunto das matrizes n times n triangulares inferiores não singulares.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
V = ,Ain Mn(R) mid A é triangular inferior e det(A)neq 0 é
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Para isso vamos usar os axiomas de espaço vetorial, em particular a existência do vetor zero e a clausura sob soma.

Passo 2

Verificamos a existência do vetor zero: o candidato é a matriz nula
0 = l[0ijr]ntimes n
Embora 0 seja triangular inferior, tem det(0)=0, logo não pertence a V. Como em todo espaço vetorial o zero deve pertencer, já falha esse axioma.

Passo 3

Em complemento, checamos clausura sob soma: escolhemos
A = Ine B = -In
Ambas são triangulares inferiores e det(In)=det(-In)=pm1neq0, então A,Bin V. Mas
A + B = In + (-In) = 0
não está em V (é singular). Logo V não é fechado para soma.

Resposta

O conjunto das matrizes ntimes n triangulares inferiores não singulares não é um espaço vetorial.

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