P 5.1. Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição e multiplicação por um número real).
Conjunto das matrizes singulares
.
Conjunto das matrizes singulares
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto das matrizes singulares
forma um espaço vetorial (isto é, um subespaço de
) sob as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Para isso vamos usar o critério de subespaço: verificar se o zero está no conjunto, se é fechado sob multiplicação por escalar e se é fechado sob adição.
Passo 2
Verificamos que a matriz nula
é singular (tem
) e portanto pertence ao conjunto. Agora tomemos uma matriz singular
(
) e um escalar
. Então
logo
também é singular. Concluímos que o conjunto contém o zero e é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 3
Para ser um subespaço, também precisamos de fechamento sob adição. Porém, basta um contraexemplo em
. Considere
Temos
e
, mas
que tem
. Assim,
é invertível e não pertence ao conjunto de matrizes singulares.
Resposta
O conjunto das matrizes singulares
não é um espaço vetorial, pois não é fechado sob adição.