P 5.1. Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição e multiplicação por um número real).
Conjunto das matrizes singulares n times n.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto das matrizes singulares ntimes n forma um espaço vetorial (isto é, um subespaço de R^ntimes n) sob as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Para isso vamos usar o critério de subespaço: verificar se o zero está no conjunto, se é fechado sob multiplicação por escalar e se é fechado sob adição.

Passo 2

Verificamos que a matriz nula 0 é singular (tem det(0)=0) e portanto pertence ao conjunto. Agora tomemos uma matriz singular A ( det(A)=0) e um escalar alphainR. Então
det(alpha A)=alpha^ndet(A)=alpha^ncdot0=0,
logo alpha A também é singular. Concluímos que o conjunto contém o zero e é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 3

Para ser um subespaço, também precisamos de fechamento sob adição. Porém, basta um contraexemplo em n=2. Considere
A=1&00&0, B=0&00&1
Temos det(A)=0 e det(B)=0, mas
A+B=1&00&1,
que tem det(A+B)=1neq0. Assim, A+B é invertível e não pertence ao conjunto de matrizes singulares.

Resposta

O conjunto das matrizes singulares ntimes n não é um espaço vetorial, pois não é fechado sob adição.

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