Qual é a matriz da transformação T: P1(x) P2(x) definida por T(p(x))=x p(x), em relação às bases alpha=x, 1, de P1(x), e beta=x^2, x-1, x+1 de P2(x) ?

Passo 1

O enunciado pede a matriz de Tcolon P1(x)toP2(x) dada por T(p(x))=x,p(x), na base alpha=x,1 do domínio e beta=x^2,,x-1,,x+1 do contradomínio. Para isso, vamos calcular T em cada vetor da base alpha e escrever o resultado em coordenadas na base beta.

Passo 2

Aplicamos T ao primeiro vetor de alpha, que é x:
T(x)=xcdot x=x^2
Agora expressamos x^2 em beta. Como beta=x^2,,x-1,,x+1, temos
x^2=1cdot x^2+0cdot(x-1)+0cdot(x+1)
Logo, as coordenadas de T(x) em beta são
l[,T(x)r]beta=(1,0,0)^T

Passo 3

Agora aplicamos T ao segundo vetor de alpha, que é 1:
T(1)=xcdot1=x
Procuramos a,b,c tais que
a,x^2+b,(x-1)+c,(x+1)=x
Isso dá
a,x^2+(b+c)x+(c-b)=0cdot x^2+1cdot x+0
Comparando coeficientes segue a=0, b+c=1 e c-b=0. Daí b=c=tfrac12. Assim,
l[,T(1)r]beta=(0,tfrac12,tfrac12)^T

Passo 4

A matriz de T relativa a alphatobeta tem colunas dadas por l[,T(x)r]beta e l[,T(1)r]beta. Portanto
[T]betaalpha = 1 & 0 0 & tfrac12 0 & tfrac12

Resposta

[T]betaalpha = 1 & 0 0 & tfrac12 0 & tfrac12

Exercícios relacionados