P 5.1. Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição e multiplicação por um número real).
f: R R: f(x)=-f(-x) (funções ímpares)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = ,f:RtoRmid f(x) = -f(-x)
das funções ímpares, com as operações usuais de soma e multiplicação escalar, é um espaço vetorial (subespaço de V=f:RtoR). Para isso, vamos checar:
  1. existência do vetor zero em S;
  2. fechamento de S sob soma;
  3. fechamento de S sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos o vetor zero. Defina f0(x)=0 para todo x. Então
f0(-x)=0Longrightarrow -f0(-x)=0=f0(x),
logo f0in S.

Passo 3

Fechamento sob soma. Sejam f,gin S. Então para todo x,
(f+g)(x)=f(x)+g(x) =-f(-x)-g(-x) =-(f+g)(-x)
Isso mostra f+gin S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja fin S e cinR. Então
(cf)(x)=c,f(x) =cl(-f(-x)r) =-l(c,f(-x)r) =-(cf)(-x),
portanto cfin S.

Passo 5

Como S não é vazio (contém f0) e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que S é um subespaço vetorial de V.

Resposta

O conjunto das funções ímpares é um espaço linear.

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