P 5.1. Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição e multiplicação por um número real).
(funções ímpares)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
das funções ímpares, com as operações usuais de soma e multiplicação escalar, é um espaço vetorial (subespaço de
). Para isso, vamos checar:
- existência do vetor zero em
; - fechamento de
sob soma; - fechamento de
sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos o vetor zero. Defina
para todo
. Então
logo
.
Passo 3
Fechamento sob soma. Sejam
. Então para todo
,
Isso mostra
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
. Então
portanto
.
Passo 5
Como
não é vazio (contém
) e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Resposta
O conjunto das funções ímpares é um espaço linear.