Sejam um espaço vetorial de dimensão e o operador identidade. Qual é a matriz de em relação a uma base qualquer de ? Se e são duas bases distintas de , qual é a matriz ?
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a matriz do operador identidade num espaço vetorial de dimensão em duas situações: . em relação a uma base qualquer de , e . em relação a duas bases distintas e , ou seja, a matriz .
Passo 2
Seja uma base de . Pelo operador identidade temos
Logo, o -ésimo vetor coluna da matriz de em são as coordenadas de em relação a , isto é, o vetor canônico . Assim a matriz é
que é simplesmente a matriz identidade de ordem n.
Passo 3
Agora sejam alpha=(v1,dots,vn) e beta=(w1,dots,wn) duas bases de V. A matriz [I]beta^alpha é definida por
[I]beta^alpha,[x]alpha = [I(x)]beta = [x]beta para todo xin V
Em particular, aplicando a cada vj da base alpha, obtemos como j-ésima coluna de [I]beta^alpha as coordenadas de vj na base beta, denotadas por [vj]beta. Portanto
que é precisamente a matriz de mudança de coordenadas de alpha para beta.
Resposta
A matriz de I em qualquer base B é a identidade In.
A matriz [I]beta^alpha é o matriz de transição de alpha para beta, cujas colunas são [vj]beta, j=1,dots,n.