Sejam V um espaço vetorial de dimensão n e I: V V o operador identidade. Qual é a matriz de I em relação a uma base qualquer de V ? Se alpha e beta são duas bases distintas de V, qual é a matriz [I]beta^alpha ?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a matriz do operador identidade
Icolon V to V num espaço vetorial V de dimensão n em duas situações:
1. em relação a uma base qualquer B de V, e
2. em relação a duas bases distintas alpha=(v1,dots,vn) e beta=(w1,dots,wn), ou seja, a matriz [I]beta^alpha.

Passo 2

Seja B=(v1,dots,vn) uma base de V. Pelo operador identidade temos
I(vj)=vjpara todo j=1,dots,n
Logo, o j-ésimo vetor coluna da matriz de I em B são as coordenadas de vj em relação a B, isto é, o vetor canônico ejinR^n. Assim a matriz é
[I]B = 1 & 0 & cdots & 0 0 & 1 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & 1 ,
que é simplesmente a matriz identidade de ordem n.

Passo 3

Agora sejam alpha=(v1,dots,vn) e beta=(w1,dots,wn) duas bases de V. A matriz [I]beta^alpha é definida por
[I]beta^alpha,[x]alpha = [I(x)]beta = [x]beta para todo xin V
Em particular, aplicando a cada vj da base alpha, obtemos como j-ésima coluna de [I]beta^alpha as coordenadas de vj na base beta, denotadas por [vj]beta. Portanto
[I]beta^alpha =l(,[v1]beta;|;[v2]beta;|;cdots;|;[vn]betar),
que é precisamente a matriz de mudança de coordenadas de alpha para beta.

Resposta

A matriz de I em qualquer base B é a identidade In.
A matriz [I]beta^alpha é o matriz de transição de alpha para beta, cujas colunas são [vj]beta, j=1,dots,n.

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