P 5.1. Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição e multiplicação por um número real).
(funções periódicas de período
)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um espaço vetorial, usando as operações usuais de soma de funções e multiplicação por escalar. Vamos lembrar que para ser subespaço vetorial de
(o espaço de todas as funções reais),
precisa conter a função zero e ser fechado em relação à soma e à multiplicação por escalares.
Passo 2
Verificamos se a função zero
pertence a
. Como
a função zero é periódica de período
e, portanto,
.
Passo 3
Agora, tomemos
e
em
. Então para todo
temos
Ao somar,
logo
também é periódica de período
. Isso prova a fechadura de
sob soma.
Passo 4
Seja
e
. Então
o que mostra que
mantém a periodicidade de período
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto das funções periódicas de período
é um espaço vetorial (subespaço de
).