P 5.1. Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição e multiplicação por um número real).
f: R R: f(x)=f(x+2 pi) (funções periódicas de período 2 pi )

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
V = ,f:RtoRmid f(x)=f(x+2pi) para todo xinR
é um espaço vetorial, usando as operações usuais de soma de funções e multiplicação por escalar. Vamos lembrar que para ser subespaço vetorial de R^R (o espaço de todas as funções reais), V precisa conter a função zero e ser fechado em relação à soma e à multiplicação por escalares.

Passo 2

Verificamos se a função zero 0(x)=0 pertence a V. Como
0(x+2pi)=0=0(x),
a função zero é periódica de período 2pi e, portanto, 0in V.

Passo 3

Agora, tomemos f e g em V. Então para todo x temos
f(x+2pi)=f(x), g(x+2pi)=g(x)
Ao somar,
(f+g)(x+2pi)=f(x+2pi)+g(x+2pi)=f(x)+g(x)=(f+g)(x),
logo f+g também é periódica de período 2pi. Isso prova a fechadura de V sob soma.

Passo 4

Seja alphainR e fin V. Então
(alpha f)(x+2pi)=alpha,f(x+2pi)=alpha,f(x)=(alpha f)(x),
o que mostra que alpha f mantém a periodicidade de período 2pi. Assim, V é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto das funções periódicas de período 2pi é um espaço vetorial (subespaço de R^R).

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